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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 11

Seja E uma base de V 3 e considere os vetores

v 1   =   ( 1 ,   − 4 ,   − 1 ) e   ,   v 2   =   ( 2 ,   1 ,   1 ) e   e   v 3   =   ( 1 ,   2 ,   1 ) e  

Se α ,   β ,   γ   ∈   R são tais que α v 1   +   β v 2   +   γ v 3   =   0   e   s e   β   =   1 , então α γ é igual.

  1. 3 / 4
  2. 1 / 2
  3. 3 / 2
  4. - 3 / 2
  5. - 1 / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular α γ . Mas para isso temos que v 1   =   ( 1 ,   − 4 ,   − 1 ) e   ,   v 2   =   ( 2 ,   1 ,   1 ) e   e   v 3   =   ( 1 ,   2 ,   1 ) e  

Se α ,   β ,   γ   ∈   R são tais que α v 1   +   β v 2   +   γ v 3   =   0   e   s e   β   =   1

E aí? alguma ideia de como começar? Podemos tentar fazer um sistema envolvendo os vetores. Vamoos fazer isso.

Passo 2

Bem, temos que α v 1   +   β v 2   +   γ v 3   =   0   e   s e   β   =   1

Como

v 1   =   ( 1 ,   − 4 ,   − 1 ) e   ,   v 2   =   ( 2 ,   1 ,   1 ) e   e   v 3   =   ( 1 ,   2 ,   1 ) e  

Então

α v 1   +   v 2   +   γ v 3   =   0

Escrevendo os vetores, temos

α ( 1 , - 4 , - 1 )   +   ( 2,1 , 1 )   +   γ ( 1,2 , 1 )   =   0

Juntando tudo temos:

( α + 2 + γ ,   - 4 α   +   1   +   2 γ ,   - α   +   1 + γ   )   =   ( 0,0 , 0 )

Como temos uma igualdade entre vetores, isso quer dizer que cada coordenada é igual. Então temos o seguinte sistema

α + 2 + γ = 0

- 4 α   +   1   +   2 γ = 0

- α   +   1 + γ   = 0

Vamos resolver!!!

Passo 3

No passo anterior obtemos o seguinte sistema

α + 2 + γ = 0

- 4 α   +   1   +   2 γ = 0

- α   +   1 + γ   = 0

Vamos resolver!

Somando a primeira com a terceira equação temos que

3 + 2 γ = 0

⇒ γ = - 3 / 2

Substituindo esse valor na primeira equação, temos

α + 2 - 3 / 2 = 0

⇒ α = - 1 / 2

E para finalizar, precisamos checar se esses valores de α   e   γ   satisfazem a segunda equação, isso é se

- 4 * - 1 2   +   1   +   2 * - 3 2 = 0

2 + 1 - 3 = 0

Então a igualdade é satisfeita. Logo temos que γ = - 3 / 2     α = - 1 / 2 . Então

α γ = 3 / 4

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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