USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 3
Seja uma base ortonormal de e considere os vetores . Suponha que seja uma base ortogonal de tal que tem a mesma direção que , e tal que é uma combinação linear de .
Se são tais que , então:
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois estaremos trabalhando com produto interno.
Nosso objetivo é verificar uma condição para que a base seja ortogonal.
mas para isso, temos que: , tem a mesma direção que , e tal que é uma combinação linear de .
Como falei no começo, essa é uma questão que usamos no produto interno. Vocês lembram dele? e de suas propriedades?
Não? Vamos relembrar!!!! Nesse caso, como temos uma base ortonormal, podemos calcular o nosso produto interno da seguinte maneira:
E além disso, dois vetores são ditos ortogonais se
Lembraram? Show!!!! Vamos a luta
Passo 2
Agora que fizemos uma revisão, vamos checar nosso objetivo. Queremos obter alguma relação sobre as coordenadas de para que a base seja ortogonal
Isto é, queremos que
e
e
Para isso, vamos começar olhando as condições
, tem a mesma direção que , e tal que é uma combinação linear de .
Se é uma combinação linear de . Então
Dessa forma, temos que
substituindo os vetores
Blz?
Passo 3
Agora, vamos checar a outra condição,
Usando a linearidade do produto interno
Mas já vimos que é perpendicular a logo, será perpendicular a ( é paralelo a ),
Substituindo os vetores.
Usando a definição do produto interno
Ou seja, descobrimos as seguintes condições
Somando as duas descobrimos que
Ou seja, as condições necessárias estão presentes na letra
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊