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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 6

Sejam n um inteiro positivo e A   e   B matrizes reais n   ×   n tais que   A 2   =   A e   B 2   =   B . Considere as seguintes afirmações:

(I) ( A   +   B ) 2   =   A 2   +   B 2 ;

(II) se B A é igual à matriz identidade, então   ( A B ) 2   =   A B ;

(III) se A B   =   B A ,   e n t ã o   ( A B ) 2   =   A 2 B 2

Assinale a alternativa correta:

As afirmações verdadeiras são:

  1. apenas a 2 e 3
  2. apenas a 2
  3. apenas a 3
  4. apenas a 1 e 2
  5. apenas a 1 e 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Sabendo que A   e   B matrizes reais n   ×   n tais que   A 2   =   A e   B 2   =   B

Então vamos nessa

Passo 2

Vamos começar checando a primeira afirmação ela diz que

( A   +   B ) 2   =   A 2   +   B 2 ;

Para verificarmos se a igualdade é válida, basta começarmos do lado esquerdo e tentar chegar do lado direito. Então

( A   +   B ) 2   = ( A + B ) ( A + B )

= A 2 + A B + B A + B 2

Mas isso é claramente diferente de A 2   +   B 2 . Logo essa afirmação é falsa

Passo 3

Vamos para a segunda afirmação. Se B A é igual à matriz identidade, então   ( A B ) 2   =   A B ;

Bem temos que B A é igual à matriz identidade, isto é:

B A = I

Então,

( A B ) 2 = ( A B A B )

Pela associatividade do produto matricial

= A ( B A ) B

= A I B

= A B

Ou seja, essa afirmação é verdadeira

Passo 4

Para finalizar, vamos checar a terceira afirmação. Que diz que se A B   =   B A ,   e n t ã o   ( A B ) 2   =   A 2 B 2

Ora se A B   =   B A Então

( A B ) 2 = ( A B A B )

Pela associatividade do produto matricial

= A ( B A ) B

pois A B   =   B A

= A ( A B ) B

= A 2 B 2

Então a afirmação é correta. Portanto, chegamos a conclusão que as afirmações 2 e 3 são verdadeiras. Situação presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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