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Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 8

Sejam A e B matrizes reais invers ́ıveis 4 × 4 e suponha que

d e t [ 2 ( A - 1 ) 3 ]   =   8   e   d e t ( A 3 ( B t ) - 1 ) =   2 ,

em que   B t denota a transposta da matriz B . Temos que   d e t ( A ) + d e t ( B ) igual

Assinale a alternativa correta:

  1. 2 3 + 1
  2. 4 3 + 1
  3. 6 3 + 1 / 4
  4. 8 3 + 1 / 2
  5. 2 3 + 1 / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular   d e t ( A ) + d e t ( B ) , onde

d e t [ 2 ( A - 1 ) 3 ]   =   8   e   d e t ( A 3 ( B t ) - 1 ) =   2 ,

Vamos revisar algumas propriedades do determinante. Temos que

d e t ( A ) = d e t ( A t )

d e t ( A - 1 ) = 1 / d e t ( A )

d e t ( A B ) = d e t ( A ) d e t ( B )

E se A for uma matriz n x n então

d e t ( a A ) = a n d e t ( A )

Agora podemos resolver nosso problema.

Passo 2

Vamos começar manipulando as expressões

d e t [ 2 ( A - 1 ) 3 ]   =   8   e   d e t ( A 3 ( B t ) - 1 ) =   2 ,

Começando pela primeira, temos:

d e t [ 2 ( A - 1 ) 3 ]   =   8

Usando a última propriedade que revisamos, como A , B são matrizes 4 x 4 :

2 4 d e t [ ( A - 1 ) 3 ]   =   8

Usando a terceira propriedade

2 4 ( d e t [ ( A - 1 ] ) 3   =   8

E usando a segunda propriedade chegamos a conclusão que

2 4 ( 1 / d e t [ A ] ) 3   =   8

Logo:

d e t ( A ) = 2 3

Passo 3

Agora que temos o d e t ( A ) , podemos calcular

d e t ( A 3 ( B t ) - 1 ) =   2

Usando a terceira propriedade que revisamos

d e t ( A 3 ) * d e t ( ( B t ) - 1 ) =   2

Usando a terceira e a segunda, temos:

d e t ( A ) 3 * 1 / d e t ( B t ) =   2

E usando a primeira propriedade, temos:

d e t ( A ) 3 * 1 / d e t ( B ) =   2

Substituindo d e t ( A ) = 2 3 . Temos

2 * 1 / d e t ( B ) =   2

⇒ d e t ( B ) = 1

Logo d e t ( B ) + d e t ( A ) = 1 + 2 3  

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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