Sejam a ,   b   ∈   R e considere o sistema linear

x 2   −   x 3   +   b x 4   =   2 ,

x 1   +   x 3   −   b x 4   =   3 ,

−   x 1   −   a x 2   +   ( b   −   2 ) x 3   =   − 1 ,

nas incógnitas reais   x 1 ,   x 2 ,   x 3   e   x 4 . Considere também as seguintes afirmações:

(I) se a   e   b são tais que esse sistema possui solução, então o seu conjunto solução será descrito usando no máximo uma variável livre;

(II) esse sistema é impossível para certos valores de a   e   b ;

(III) se esse sistema tiver infinitas soluções, então a ≠ - 1 .

As afirmações verdadeiras são:

  1. apenas a 2
  2. apenas a 1 e 2
  3. apenas a 1
  4. apenas a 2 e 3
  5. apenas a 1 e 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações sobre o sistema são verdadeiras

x 2   −   x 3   +   b x 4   =   2 ,

x 1   +   x 3   −   b x 4   =   3 ,

−   x 1   −   a x 2   +   ( b   −   2 ) x 3   =   − 1 ,

Como todas as afirmações envolvem as soluções desse sistema, talvez seja interessante resolvermos o sistema via escalonamento do sistema aumentado. Bem, então vamos começar construindo o sistema aumentado.

Passo 2

Bem, vamos começar montando a matriz aumentada do nosso sistema. Como o sistema é

x 2   −   x 3   +   b x 4   =   2 ,

x 1   +   x 3   −   b x 4   =   3 ,

−   x 1   −   a x 2   +   ( b   −   2 ) x 3   =   − 1 ,

A matriz aumentada fica

Agora, vamos começar o processo de escalonamento do sistema.

Então fazemos: L 2 ← L 1   e   L 1 ← L 2   . Fazendo isso, temos:

Agora, podemos fazer   L 3 ← L 3 + L 1

E, por fim, fazemos   L 3 ← L 3 + a L 2

Dessa forma, terminamos nosso escalonamento

Passo 3

Agora podemos checar as afirmações. Vamos começar com a primeira afirmação. Ela diz que

se a   e   b são tais que esse sistema possui solução, então o seu conjunto solução será descrito usando no máximo uma variável livre;

Vamos pensar, existe alguma condição para nosso sistema ter 2 variáveis livres? Isto é termos apenas 2 equações e 4 incógnitas? Olhando nosso sistema escalonado

Se a última linha fosse nula, ela não seria relevante para o sistema, ou seja, teríamos 2 equações e 4 incógnitas. E quando essa linha é nula? Quando

b - a - 1 = 0

a b - b = 0

2 a + 2 = 0

Resolvendo esse mini sistema, descobrimos que

a = - 1

b = 0

Dessa forma, teremos duas variáveis livres no nosso sistema. Logo a primeira afirmação é falsa.

Vamos para a segunda

Passo 4

A segunda afirmação diz que esse sistema é impossível para certos valores de a   e   b ; E aí? Como fazemos? Bem impossibilidades ocorrem quando temos algo da forma a x + c y + . . .   ≠ 0 , onde

a , b , c . . .   = 0

Então ao olharmos o nosso sistema,

essa impossibilidade aconteceria quando

b - a - 1 = 0

a b - b = 0

2 + 2 a ≠ 0

Ou seja, precisamos que

2 + 2 a ≠ 0

⇒ a ≠ - 1

e

b - a - 1 = 0

a b - b = 0

Fazendo b = a + 1 , e substituindo na segunda equação

a ( a + 1 ) - ( a + 1 ) = 0

⇒ ( a + 1 ) ( a - 1 ) = 0

Logo

a = 1 ,   o u   a = - 1

Assim para   a   =   1   e   b   =   2 , obtemos que o sistema não tem solução. Logo a segunda afirmação é verdadeira quando a   =   − 1 .

Passo 5

Agora, vamos checar a última afirmação. Ela diz que se esse sistema tiver infinitas soluções, então a ≠ - 1

Quando a   =   − 1   temos que a última linha do sistema escalonado fica ( 0   0   b   −   2 b   0 ) .

Então, sempre que b   ≠   0 O sistema tem solução, e terá infinitas porque temos uma variável livre. Portanto, essa afirmação é falsa

Portanto, a única afirmação verdadeira é a segunda. Situação presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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