Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

Ver Teoria
Exercício 231234567891011121314151617181920212224252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657

Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 9

Considere em E 3 um tetraedro O A B C e a base B   =   { O A , O B , O C }   d e   V 3 . Sejam M o ponto médio do segmento A B , N o ponto médio do segmento B C e P o ponto do segmento O N tal que d ( P ,   N )   =   1 2 d ( O ,   P ) . Em que d ( X ,   Y   ) denota a distância entre os pontos X   e   Y . Temos que a soma das coordenadas do vetor M P na base B é igual a:

  1. 2 3 + 1
  2. 4 3 + 1
  3. 6 3 + 1 / 4
  4. 8 3 + 1 / 2
  5. 2 3 + 1 / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular soma das coordenadas do vetor M P

Mas o enunciado nos dá as seguintes informações

M o ponto médio do segmento A B , N o ponto médio do segmento B C e P o ponto do segmento O N tal que d ( P ,   N )   =   1 2 d ( O ,   P )

E aí? alguma ideia de como começar?

Passo 2

Vamos começar essa questão reescrevendo o vetor M P como:

M P = M A   + A O   + O P .

Ou seja, de M vou para A, depois para O e depois para P.

Vamos reescrever M A na base B   =   { O A , O B , O C }

Bem, temos que M é o ponto médio do segmento A B , logo

M A = 1 2 B A

= 1 2 ( A O + O B )

= 1 2 ( - O A + O B )

Passo 3

Agora, vamos escrever O P na base B   =   { O A , O B , O C }

Como d ( P ,   N )   =   1 2 d ( O ,   P ) e N o ponto médio do segmento B C , Logo

2 3 O N   =   O P

E por fim, temos que

O N   = O C   + 1 / 2 ( C O   + O B )   = O C   − 1 / 2   O C   + 1 / 2 O B   = 1 / 2 O C   + 1 / 2 O B .

Logo

O P   = 1 / 3 O C   + 1 / 3 O B .

Dessa forma,

M P = M A   + A O   + O P .

= - 1 / 2 O A   - 1 / 6 O B   + 1 / 3 O C

Portanto, a soma das coordenadas de M P na base B   =   { O A , O B , O C } , é

- 1 / 2   - 1 / 6 + 1 / 3 = - 1 / 3

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

36. Usando sua experiência com o exercício 35, projete um teste geral que possa ser aplicado a uma fórmula para aij para determinar se A=[a]ij é simétrica.
Se as entradas da matriz C = c 11 x c 21 x ⋮ c m 1 xc 12 x c 22 x ⋮ c m 2 x⋯ ⋯ ⋮ ⋯c 1 n x c 2 n x ⋮ c m n x São funções deriváveis de x , então definimos d C d x = c 11 ' x c 21 ' x ⋮ c m 1 ' xc 12 '
Se a b c d = m e a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que as colunas de m são vetores unitários ortogonais e o mesmo vale para as linhas.
Seja T:R ² →R ² ² ² a transformação linear que consiste em aplicar uma rotação de ângulo θ e depois trocar o sinal da segunda coordenada. Mostre que T é a reflexão em torno de uma reta r que contém a
Sejam r uma reta que contém a origem, α o ângulo de O X para reS :R ²→R ² ² ² a reflexão em torno de r . Sendo e 1=( 1 ,0 )ee 2=( 0 ,1 ) mostre que o ângulo de e 1 paraS e 1 é 2 α e o ângulo de e 2 pa