USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 1
Sejam dados vetores distintos em e sejaw}. Considere as seguintes afirmações:
(I) se , então é linearmente dependente;
(II) se é ortogonal a e a , então é linearmente independente;
(III) se é linearmente dependente, então existem tais que é igual
a .
Está correto o que se afirma em:
- Somente em 1
- 1 e 3 apenas
- 1,2 e 3
- 1 e 2 apenas
- 2 e 3 apenas
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois estaremos trabalhando com o conceito de dependência de vetores.
Nosso objetivo é verificar quais das afirmações sobre o conjunto w} são verdadeiras.
Como falei no começo, essa é uma questão de dependência entre vetores. Vocês lembram quando um conjunto de vetores é dependente?
Não? Vamos relembrar!!!! Sejam , então esse conjunto é dependente se, e somente se,
podemos escrever algum desses vetores como uma combinação linear dos demais. Ou seja se existem soluções não triviais para (os três não podem ser zero simultaneamente) tais que
Lembraram? Show!!!! Vamos a luta
Passo 2
Agora que fizemos uma revisão, vamos checar as afirmativas. Começando pela primeira
se , então é linearmente dependente;
E aí? É verdade essa afirmação? Bem checando a nossa revisão temos que um conjunto é linearmente dependente se existem soluções não triviais para (os três não podem ser zero simultaneamente) tais que
Ora, mas temos uma solução da forma
Ou seja, esse conjunto w} é linearmente dependente (LD)
Agora, vamos para a segunda afirmação
Passo 3
Se é ortogonal a e a , então é linearmente independente;
Agora, temos um vetor que é ortogonal. Então vem a pergunta, se um vetor é ortogonal aos demais vetores, ele pode ser escrito como uma combinação linear deles? A resposta é não, se dois vetores são ortogonais eles são independentes. Tome por exemplo a base padrão do .
Então temos que é linearmente independente dos demais vetores. Mas isso implica que o conjunto w} seja LI? Não né? Pois não sabemos sobre nenhuma relação entre , nada impede que , ou seja, não podemos garantir que eles sejam LI. Logo essa afirmação é falsa.
E para finalizar, vamos para a terceira afirmação.
Passo 4
se é linearmente dependente, então existem tais que é igual a .
E aí? Será que é verdade essa afirmação? Vamos usar o resultado da afirmação anterior como inspiração.
Nós vimos que mesmo sendo perpendicular a o conjunto podia ser . Logo, se o conjunto for LD então é possível que não seja uma combinação linear de isto é, a equação
não tem solução. Logo essa afirmação também e falsa.
Dessa forma, chegamos a conclusão que a única afirmação verdadeira é a primeira. Logo a resposta é a alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊