USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 2
Sejam vetores tais que e tais que a medida
do ângulo entre seja igual a . Temos que o cosseno do ângulo entre
é igual a:
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois estaremos trabalhando com produto interno.
Nosso objetivo é verificar o cosseno do ângulo entre
mas para isso, temos que , e o ângulo entre seja igual a
Como falei no começo, essa é uma questão que usamos no produto interno. Vocês lembram dele? e de suas propriedades?
Não? Vamos relembrar!!!! Sejam então, o produto interno entre os vetores é
onde é o ângulo entre os vetores.
E como consequência dessa definição, temos:
E como propriedades, temos que o produto interno é bilinear, ou seja,
e
Lembraram? Show!!!! Vamos a luta
Passo 2
Agora que fizemos uma revisão, vamos checar nosso objetivo. Queremos o cosseno do ângulo entre
Bem usando a definição de produto interno, sabemos que
Ou seja,
Ora, mas podemos calcular esses fatores, começando pelo numerador, temos:
Usando a linearidade do produto interno
Usando a definição de produto interno
substituindo os valores para os módulos e calculando obtemos
Passo 3
Agora, vamos calcular o denominador
Usando a nossa revisão, temos que
Vamos resolver essa expressão.
Usando a linearidade do produto interno
Usando a definição do produto interno:
Usando o fato que , e o ângulo entre seja igual a
Temos que
Logo
Valor presente na alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊