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Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

USP; Sem campus; Álgebra Linear 1; P1; 2022; Questão 13

Considere uma base ortonormal e de V 3 e sejam   a ,   b ,   c   ∈   R tais que o vetor u   =   ( a ,   b ,   c ) e seja uma combinação linear dos vetores ( 1 ,   1 ,   0 ) e   e   ( 1 ,   − 1 ,   2 ) e . Suponha que ∥ u ∥   =   12 , que u seja ortogonal ao vetor ( 1 ,   0 ,   1 ) e e que o ângulo entre u e o vetor ( 0 ,   1 ,   0 ) e seja agudo. Temos que   a   +   b   +   c é igual a:

  1. 4 6
  2. 12 6
  3. 8 6
  4. - 8 6
  5. 6

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular   a   +   b   +   c . Mas para isso temos que u   =   ( a ,   b ,   c ) e seja uma combinação linear dos vetores ( 1 ,   1 ,   0 ) e   e   ( 1 ,   − 1 ,   2 ) e . Ou seja,

u = p ( 1 ,   1 ,   0 ) e + q   ( 1 ,   − 1 ,   2 ) e ,   c o m   p , q ∈ R

Além disso, temos que

∥ u ∥   =   12

E u é ortogonal ao vetor ( 1 ,   0 ,   1 ) e . Ou seja,

< u , ( 1 ,   0 ,   1 ) e > = 0

E por fim, sabemos que que o ângulo entre u e o vetor ( 0 ,   1 ,   0 ) e seja agudo. Isto é, o ângulo é menor que 90 ° logo seu cosseno é positivo.

Agora que temos as informações do enunciado de forma mais clara, podemos começar a resolver essa questão.

Passo 2

Começando pelo fato que

u = p ( 1 ,   1 ,   0 ) e + q   ( 1 ,   − 1 ,   2 ) e ,   c o m   p , q ∈ R

= ( p + q , p - q , 2 q ) e

e

< u , ( 1 ,   0 ,   1 ) e > = 0

Como e é uma base ortonormal, temos que

< ( p + q , p - q , 2 q ) e , ( 1 ,   0 ,   1 ) e > = 0

p + q   +   0 * ( p - q ) + 2 q = 0

p + 3 q = 0

Logo

p = - 3 q

Então temos que

u = ( p + q , p - q , 2 q ) e

= ( - 2 q , - 4 q , 2 q )

Passo 3

No passo anterior obtemos que

u = ( - 2 q , - 4 q , 2 q )

Mas temos a seguinte informação do enunciado, temos que

∥ u ∥   =   12

como

| | ( x , y , z ) | | = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2

temos

∥ u ∥   =   12

( 4 q 2 + 16 q 2 + 4 q 2 ) 1 / 2 = 12

⇒ ( 24 q 2 ) 1 / 2 = 12

⇒ q = ± 6

Passo 4

Agora que sabemos que

q = ± 6

Podemos utilizar a última informação do enunciado que diz que u e o vetor ( 0 ,   1 ,   0 ) e seja agudo. Isto é, o ângulo é menor que 90 ° . Logo seu cosseno é positivo.

Como

< u ,   v > = | u | | v | c o s θ

O fato do cosseno ser positivo implica que

< u ,     ( 0 ,   1 ,   0 ) e >   ≥ 0

Ou seja,

< ( - 2 q , - 4 q , 2 q ) ,     ( 0 ,   1 ,   0 ) e >   ≥ 0

⇒ - 4 q ≥ 0

Logo

q ≤ 0

Dessa forma, concluímos que

q = - 6

Agora que sabemos que é q , podemos finalmente calcular a + b + c , já que

u = ( a , b , c ) = ( - 2 q , - 4 q , 2 q )

Como q = - 6

Temos que

a + b + c = 4 6

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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