Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Ver Teoria
Exercício 512346789101112131415161718192021222324252627282930313233

Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q6

Sejam os vetores   u = 3,0 , - 1,2 E , v = 1,1 , 1 , - 2 E     e   w = 0,1 , 0,3 E , com coordenadas referidas a uma base E = e 1 , e 2 , e 3 , e 4   d e   R 4 . Indicar qual das seguintes afirmações é falsa.

a   R 4   é   s o m a   d o s   s u b e s p a ç o s   e 1 , e 2   e   [ u , v ]

b   O s   v e t o r e s   u ,   e 2 , e 3 , e 4   f o r m a m   u m a   b a s e   d e   R 4

c   R 4   é   s o m a   d o s   s u b e s p a ç o s   u , v e     [ e 3 , e 4 ]

d   R 4   é   s o m a   d o s   s u b e s p a ç o s   u , v , w   e   [ e 4 ]

e   A   d i m e n s ã o   d o   s u b e s p a ç o   d e   R 4   g e r a d o   p o r   u , v   e   w ,   é   3 .

Passo 1

Falaaa, blz???? Para começar essa questão temos que organizar a seguinte ideia.

Quando falamos sobre a soma de subespaços:

s e   a , b , c , d   ∈ V   e n t ã o :

a , b + c , d = a , b , c , d

a , b , c + d = [ a , b , c , d ]

Com isso, podemos analisar as letras (a), (c) e (d).

Começando pela letra (a):

R 4 =   e 1 , e 2 +   u , v =   e 1 , e 2 , u , v

Bom, já sabemos que dim ⁡ R 4 = 4 , vamos ver se dim e 1 , e 2 , u , v = 4 , caso isso ocorra, o espaço e 1 , e 2 , u , v será igual a R 4 ,     o u   a i n d a   e 1 , e 2 , u , v   g e r a   R 4 .

Para analisar a dim e 1 , e 2 , u , v vamos analisar se os vetores são L.I ou L.D.

e 1 = 1,0 , 0,0 E

e 2 = 0,1 , 0,0 E

u = 3,0 , - 1,2 E

v = 1,1 , 1 , - 2 E

Para vermos se os vetores são L.I ou L.D vamos analisar a seguinte equação:

α e 1 + β e 2 + γ u + δ v = 0 ,   o n d e   α , β , γ , δ   ∈ R

Caso α = β = γ = δ = 0 ,   e n t ã o   o s   v e t o r e s   s ã o   L . I , caso contrário são L.D

α e 1 + β e 2 + γ u + δ v = α 1,0 , 0,0 + β 0,1 , 0,0 + γ 3,0 , - 1,2 + δ 1,1 , 1 , - 2 = 0  

α + 3 γ + δ = 0 β + δ = 0                       - γ + δ = 0                   2 γ - 2 δ = 0              

Para quem já está com experiencia e olha para as 2 últimas equações já sentem que os vetores não são L.I, mas vamos lá.

Vamos tomar β = 1 .

Da segunda equação temos δ = - 1

Da terceira tiramos que γ = - 1

Da primeira α = 4

Para testar, veja que:

4 1,0 , 0,0 + 1 0,1 , 0,0 - 1 3,0 , - 1,2 - 1 1,1 , 1 , - 2 = ( 0,0 , 0,0 )

Logo, como achamos solução diferente de α = β = γ = δ = 0 ,   o s   v e t o r e s   s ã o   L . D e portanto dim( e 1 , e 2 , u , v )   < 4 e então R 4   ≠   e 1 , e 2 , u , v . Letra A é falsa.

Vamos para letra c pois é a mesma ideia:

R 4 =   e 3 , e 4 +   u , v =   e 3 , e 4 , u , v

e 3 = 0 , 0 , 1 , 0 E

e 4 = 0 , 0 , 0 , 1 E

u = 3,0 , - 1,2 E

v = 1,1 , 1 , - 2 E

Pelo mesmo processo:

α e 3 + β e 4 + γ u + δ v = α 0 , 0 , 1 , 0 + β 0 , 0 , 0 , 1 + γ 3,0 , - 1,2 + δ 1,1 , 1 , - 2 = 0  

3 γ + δ = 0                     δ = 0                                         α - γ + δ = 0         β + 2 γ - 2 δ = 0  

T e m o s   c o m o   s o l u ç ã o   α , β , γ , δ = 0,0 , 0,0

Logo, como já foi dito, os vetores são L.I e portanto:

d i m e 1 , e 2 , u , v = 4 = dim ⁡ R 4

Logo, a afirmação C está correta.

Vamos agora para a letra D, pelo mesmo processo anterior.

R 4 =   e 4 +   u , v , w =   e 4 , u , v , w

e 4 = 0,0 , 0,1 E

u = 3,0 , - 1,2 E

v = 1,1 , 1 , - 2 E

w = 0,1 , 0,3 E

α e 4 + β u + γ v + δ w = α 0,0 , 0 , 1 + β 3,0 , - 1,2 + γ 1,1 , 1 , - 2 + δ 0,1 , 0,3 = 0  

3 β + γ = 0                                         γ + δ = 0                                             - β + γ = 0                                         α + 2 β - 2 γ + 3 δ = 0

Da primeira e terceira equação tiramos que   β = 0 = γ

Logo, na segunda tiramos δ = 0   e   d a   u l t i m a   α = 0

Portanto, como α = β = γ = δ = 0 e 4 , u , v , w   s ã o   L . I

d i m e 4 , u , v , w = 4 = dim ⁡ R 4

Logo, a afirmação D está correta.

Passo 2

Falta analisarmos a letra (b) e (e).

Vamos para letra (b):

O s   v e t o r e s   u ,   e 2 , e 3 , e 4   f o r m a m   u m a   b a s e   d e   R 4

Para esses 4 vetores formarem uma base de R 4 , temos que eles devem ser L.I

E vamos lá novamente, fazer todo processo igual kkkkk

α u + β e 2 + γ e 3 + δ e 4 = 0

α 3,0 , - 1,2 + β 0,1 , 0,0 + γ 0,0 , 1,0 + δ 0,0 , 0,1 = 0

3 α + β = 0 β = 0                     - α + γ = 0 2 α + δ = 0

É fácil ver que α = β = γ = δ = 0 é solução, logo ( u ,   e 2 , e 3 , e 4 )   s ã o   L . I   e   p o r t a n t o   B = u ,   e 2 , e 3 , e 4   é   b a s e   d e   R 4

Passo 3

Finalmente, vamos para letra (e):

A   d i m e n s ã o   d o   s u b e s p a ç o   d e   R 4   g e r a d o   p o r   u , v   e   w ,   é   3

u = 3,0 , - 1,2 E

v = 1,1 , 1 , - 2 E

w = 0,1 , 0,3 E      

Para que a dimensão do espaço gerado por u , v   e   w ,     s e j a   3 precisaríamos que eles sejam L.I

α 3,0 , - 1,2 + β 1,1 , 1 , - 2 + γ 0,1 , 0,3 = 0

3 α + β = 0                         β + γ = 0                           - α + β = 0                         2 α - 2 β + 3 γ = 0

Da primeira e terceira equação tiramos que α = β = 0 , logo γ = 0 e portanto os vetores são L.I.

Então d i m u , v   e   w = 3

Resposta

Letras (b), (c), (d) e (e) são verdadeiras.

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1