USP, 2018.1, P3, Q2
Considere as seguintes afirmações:
Nestas condições podemos afirmar.
Passo 1
Faaala, blz??? Vamos começar essa questãozinha lembrando alguns conceitos de subespaço vetorial, para checarmos a veracidade das afirmações.
São 3 propriedades para o conjunto ser subespaço vetorial:
Passo 2
Agora vamos checar as 3 afirmações.
De (I):
A propriedade (i) é verdadeira, basta tomar todas coordenadas sendo zero.
Agora vamos checar a propriedade (ii):
Para que a soma estivesse em R, teríamos que , porém é bem direto que isso não é verdade para qualquer t e p real. Logo R não é subespaço vetorial.
De (II):
A propriedade (i) é verdadeira, pois , logo
Agora vamos pensar na propriedade 2. Se , suas coordenadas serão números racionais, quando somarmos ambos vetores, será a soma de números racionais, que é racional, logo é válido.
Agora vamos para propriedade (iii):
A motivação para abordar essa propriedade é tentar pensar em algum contraexemplo. Ou seja, vamos pegar um vetor de S e multiplicar por um escalar qualquer e ver se o resultado está em S.
Para um vetor não pertencer a S, pelo menos uma de suas coordenadas não é racional, ou seja, é irracional. Ou seja, basta pegar um vetor com coordenadas racionais, multiplicar por algum escalar e resultar em alguma coordenada irracional. Por exemplo:
Tomando
, como é irracional, não tá em S. Logo S não é subespaço vetorial.
Passo 3
Vamos olhar agora a afirmação (III):
Nós temos que
Agora veja que
O que torna impossível todas coordenadas serem zero, simultaneamente. Logo T não é subespaço vetorial
Resposta
Todas afirmações são falsas.