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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q8

No espaço vetorial R 4 consideramos os seguintes subespaços vetoriais

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |   x 1 - x 3 = 0 ,   x 3 + x 4 = 0

W = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |     x 2 - x 3 = 0 ,   x 1 - x 4 = 0  

Sejam u = a , b , c , d ∈ U   e   w   ∈ W   t a l   q u e

u + w = ( 1,1 , - 1 , - 1 )

Então a + b + c + d   é   i g u a l   a

Passo 1

Falaaa, blz??? Vamos começar essa questãozinha...

Bom, esse problema nos faz lembrar de uma questão anterior que usa o fato de V = U + W   , onde V é um espaço vetorial e U,W seus subespaços. Se a equação acima ocorre, então todo vetor v de V é escrito como combinação linear de vetores de U (portanto da base de U) e de W. Ou seja, nossa motivação nessa questão é achar a base de U e W, ver se temos R 4 = U + W e se isso ocorrer a questão tá finalizada.

A questão nos dá 2 subespaços vetoriais de R 4 escritos de uma forma meio estranha, mas conseguimos melhorar para podermos tirar mais informações:

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 - x 3 = 0 ,   x 3 + x 4 = 0

É equivalente a:

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 = x 3 ,     x 3 = - x 4

Ou ainda

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 = x 3 = - x 4

Analogamente, para W:

W = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |     x 2 = x 3 ,   x 1 = x 4

Passo 2

Dessa forma conseguimos achar a base de U e de W, fazendo:

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 = x 3 = - x 4

U = x 3 , x 2 , x 3 , - x 3 ∈ R 4     x 3 , x 2   ∈ R }

U = x 3 1,0 , 1 , - 1 + x 2 0,1 , 0,0 ∈ R 4     x 3 , x 2   ∈ R }  

Ou seja:

U = [ 1,0 , 1 , - 1 ,   0,1 , 0 , 0 ]

Da mesma forma, para W:

W = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |     x 2 = x 3 ,   x 1 = x 4

W = x 1 , x 2 , x 2 , x 1 ∈ R 4   |     x 2 ,   x 1 ∈ R

W = x 1 1,0 , 0 , 1 + x 2 0,1 , 1,0   ∈ R 4     x 1 , x 4 ∈ R }  

W = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,0

Agora, veja que dim ⁡ U = dim ⁡ W = 2

Além disso, o conjunto { 1,0 , 1 , - 1 ,   0,1 , 0 , 0 ,   1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,0 } é L.I

Para ver isso podemos fazer igual fizemos nas questões anteriores, fazendo:

a 1,0 , 1 , - 1 + b 0,1 , 0,0 + c 1,0 , 0,1 + d 0,1 , 1,0 = 0

a + c = 0 b + d = 0 a + d = 0 - a + c = 0

Da primeira com a última temos a = c = 0

Com isso na terceira d = 0   e   n a   s e g u n d a   b = 0

Logo a = b = c = d = 0 e, portanto, os vetores são L.I

Como temos 4 vetores de R 4 L.I, eles formam uma base de R 4 ( U + W = R 4 )

Passo 3

Ou seja, agora basta escrevermos o vetor ( 1,1 , - 1 , - 1 ) como combinação linear dos vetores dessa base.

1,1 , - 1 , - 1 =   α 1,0 , 1 , - 1 + β 0,1 , 0,0 + γ 1,0 , 0,1 + δ 0,1 , 1,0

α + γ = 1 β + δ = 1 α + δ = - 1 - α + γ = - 1

Da primeira com a última, tiramos que α = 1     e   γ = 0 e logo temos δ = - 2     e   β = 3

Logo, como 1,1 , - 1 , - 1 = u + w = α 1,0 , 1 , - 1 + β 0,1 , 0,0 + γ 1,0 , 0,1 + δ 0,1 , 1,0

Onde α 1,0 , 1 , - 1 + β 0,1 , 0,0   ∈ U   e   γ 1,0 , 0,1 + δ 0,1 , 1,0   ∈ W

Temos que u = a , b , c , d = α 1,0 , 1 , - 1 + β 0,1 , 0,0 =   1 1,0 , 1 , - 1 + 3 0,1 , 0,0

a , b , c , d = 1,3 , 1 , - 1 ∴ a + b + c + d = 4

Resposta

a + b + c + d = 4

Exercícios de Livros Relacionados

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b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
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