Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

Exercício 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q10

Seja Considere os vetores O subespaço vetorial gerado por u,v,e w tem dimensão 3, se e somente se:

Passo 1

Falaaa, blz????? Bora para mais uma questãozinha. Bom, nessa questão aqui ela nos pede que o espaço gerado por 3 vetores tenha dimensão 3, como já foi visto em outros problemas dessa prova, para que um espaço gerado por 3 vetores tenha dimensão 3, eles devem ser L.I. Ou seja, nossa motivação para esse problema é achar valores de que faça os vetores serem L.I.

Passo 2

Então vamos lá, para 3 vetores serem L.I. nós temos que a equação abaixo deve ter solução diferente de

Passo 3

Ou seja:

Subtraindo as duas últimas equações:

Caso teríamos que solução, o que estamos querendo, porém para isso ocorrer, temos que

Além disso, somando todas equações:

Queremos , o que resultaria em , mas para isso ocorrer:

Resposta

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Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por

Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .

Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.

Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes

No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: