Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

Ver Teoria
Exercício 712345689101112131415161718192021222324252627

Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q11

Seja V = x , y , z ∈ R 3     x , y , z > 0 } com as operações

x 1 , y 1 , z 1 ⊕ x 2 , y 2 , z 2 = ( x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 )

λ ⊙ x , y , z = x λ , y λ , z λ   p a r a   t o d o   λ   ∈ R .

Considere as seguintes afirmações:

I   1,1 , 1 ,   1,2 , 3 , , 2,2 , 8   é   L . D . .

I I   1,2 , 3 , 1,4 , 9   é   L . D . .

I I I   1,2 , 3 , 2,2 , 8   é   L . D . .

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Vamos começar essa questãozinha envolvendo um espaço vetorial maluco e conceitos de L.D..

Primeiro vamos lembrar o que é L.D para nos ajudar a chegar nas respostas. Para um conjunto de vetor ser L.D. temos que cada vetor do conjunto se escreve como combinação linear dos outros.

Com isso, vamos para primeira afirmação.

I   1,1 , 1 ,   1,2 , 3 , , 2,2 , 8   é   L . D . .

Bom, essa é verdade para o espaço em que estamos estudando, com as operações vigentes. Veja que o vetor 1,1 , 1 é o vetor “neutro” desse espaço, pois ele operado com qualquer outro vetor v, dará o próprio v. Vamos mostrar isso de forma mais detalhada.

v = a , b , c

1 , 1 , 1 ⊕ a , b , c = ( a , b , c )

Logo, como o conjunto da primeira afirmação contém o vetor nulo desse espaço V, ele é L.D. (Os outros 2 podem “sair” dele)

Passo 2

Vamos ver a segunda afirmação:

I I   1,2 , 3 , 1,4 , 9   é   L . D . .

Veja que essa é verdade também. Pois o vetor ( 1,4 , 9 ) é obtido a partir do vetor ( 1,2 , 3 ) pela operação do espaço, uma vez que:

2 ⊙ 1 , 2 , 3 = 1,4 , 9 ,   l o g o   o   c o n j u n t o   é   L . D

Passo 3

Agora vamos para última afirmação:

I I I   1,2 , 3 , 2,2 , 8   é   L . D .

Para esses vetores serem L.D, temos que um é obtido pelo outro a partir das operações citadas.

Para o vetor ( 2,2 , 8 ) ser obtido, teríamos que:

2,2 , 8 = ( 2,2 , 8 ) ⊕ a ⊙ 1,2 , 3

Mas, para isso ocorrer

a ⊙ 1,2 , 3 = 1,1 , 1

a ⊙ 1,2 , 3 = 1,2 a , 3 a = 1,1 , 1

Obviamente não temos solução.

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .