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Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q3

Sejam U e W dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V de dimensão 5. Suponha que dim(U) = dim(W) = 3 e para cada v   ∈ V existem u   ∈ U     e   w ∈ W tal que v = u + w . Então é corretor afirmar que

a ) dim ⁡ U ∩ W = 1

b )   dim ⁡ U ∩ W = 2

c )   U ∩ W   é   o   c o n j u n t o   v a z i o .

d )   S e   u   ∈ U     e   w ∈ W tal que u + w = 0 V   então necessariamente u = 0 V   e   w =   0 V  

e ) dim ⁡ U ∩ W = 0    

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, para começar essa questão vamos perceber que precisamos fazer aparecer d i m ⁡ ( U ∩ W ) , pois 3 das 5 afirmações falam disso. Quando pensamos em algo que faça aparecer d i m ⁡ ( U ∩ W ) lembramos de:

Se U e W subespaços vetoriais de V, então:

dim ⁡ U + W = dim ⁡ U + dim ⁡ W - dim ⁡ U ∩ W

Além disso, pelo enunciado, para cada v   ∈ V existem u   ∈ U     e   w ∈ W tal que v = u + w , ou seja:

V = U + W

Substituindo na equação citada acima:

dim ⁡ V = dim ⁡ U + dim ⁡ W - dim ⁡ U ∩ W

5 = 3 + 3 - dim ⁡ U ∩ W

Logo dim ⁡ U ∩ W = 1

Portanto, letra (a) está correta.

Passo 2

Vamos olhar para letra c:

U ∩ W   é   o   c o n j u n t o   v a z i o

Bom, o enunciado nos diz que U e W são dois subespaços vetoriais de V, logo o elemento neutro de V pertence aos 2.

Como 0 V   ∈ U , W temos que U ∩ W   ≠   ∅

Passo 3

Agora olhando para letra (d):

" S e   u   ∈ U     e   w ∈ W tal que u + w = 0 V   então necessariamente u = 0 V   e   w =   0 V "

Já provamos que dim ⁡ U ∩ W = 1 , logo existe x →   ∈ U ∩ W   c o m   x →   ≠ 0 V

Nosso objetivo aqui é sair de " S e   u   ∈ U     e   w ∈ W tal que u + w = 0 V " e ver se realmente ocorre “então necessariamente u = 0 V   e   w =   0 V "

Como existe x →   ∈ U ∩ W   c o m   x →   ≠ 0 V ,     e n t ã o   x →   ∈ U   e   x →   ∈ W

Como U e W são subespaços vetoriais, temos que - x → ∈ U   e - x → ∈ W    

Ou seja, basta tomarmos u = x →   ∈ U   e   w = - x → ∈ W , nesse caso temos que:

u   ∈ U     e   w ∈ W tal que u + w = x →   +   ( - x → ) =   0 V e nesse caso u ≠ 0 v   w ≠ 0 v . Logo a letra (d) está errada.

Resposta

Letra (a) está correta.

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