USP, 2018.1, P3, Q5
Dadas as matrizes
Considere as seguintes afirmações:
Passo 1
Falaaa ai,blz???? Vamos começar essa questão lembrando o conceito principal sobre a afirmação (I):
Lembraremos que as 4 matrizes são linearmente independentes se não conseguimos montar uma combinação linear tal que uma delas seja combinação das outras.
Ou ainda, seja
Vamos ver se isso procede, tomando
Ajustando:
Veja que é fácil conseguir uma solução para esse sistema, basta tomar
Da primeira equação tiramos que
Da quarta equação tiramos que
Da terceira tiramos que
Ou seja, com , então não são L.I.
Passo 2
Para a afirmação (II) vamos tomar duas motivações:
A primeira é, para o espaço gerado pelas matrizes ter dimensão 3, ele deve ser gerado por 3 elementos dele, nesse caso 3 matrizes. Ou seja, queremos 3 das 4 matrizes citadas sejam L.I.
A segunda motivação vem do sistema:
Veja que a segunda equação e a terceira são equivalentes, o que nos faz refletir sobre os escalares . A priori, parece que o problema para as 4 matrizes não serem L.I é referente a essas duas equações, e portanto, B e D (pois tá relacionado com B e com D).
Vimos que:
Ou seja, o espaço gerado por (A,B,C,D) é o mesmo que o espaço gerado por (A,C,D)
Além disso, (A,C,D) são L.I, basta fazer o mesmo processo anterior:
Logo
Ou seja, o espaço gerado por tem dimensão 3 e é subespaço de
Passo 3
A afirmação (III) é direta, tendo em vista que já foi dito na afirmação (I) que as 4 matrizes não são L.I
Resposta
Apenas a segunda é verdadeira.