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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q12

Sejam V = M 2 ( R ) ,

S = A ∈ V   |     A 1 0 0 2 = 1 0 0 2 A e   T = a b c d ∈ V   |   b + c = 0    

Nestas condições podemos afirmar:

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, vamos entender como atacar essa questão.

Como já foi feito em várias outras questões dessa prova para afirmarmos algo sobre dimensão de subespaços temos que entender qual a base desses subespaços para nos ajudar.

Vamos começar arrumando o subespaço S para enxergamos quem é a base dele:

Para M =   x y z w   ∈ S   → x y z w 1 0 0 2 = 1 0 0 2 x y z w  

x 2 y z 2 w = x y 2 z 2 w → y = z = 0

Logo:

M =   x y z w = x 0 0 w  

Então:

S = x 0 0 w   ∈ M 2 R   |   x , y   ∈ R

Agora vamos melhorar o T:

T = a b c d ∈ V   |   b + c = 0

T = a b c d ∈ V   |   b = - c

T = a - c c d ∈ V   |   a , b , c   ∈ R

Passo 2

Agora vamos olhar para as bases de cada subespaço:

S = x 0 0 w   ∈ M 2 R   |   x , y   ∈ R

S = x 1 0 0 0 + w 0 0 0 1   ∈ M 2 R   |   x , y   ∈ R

Logo S = 1 0 0 0 ,   0 0 0 1  

Da mesma forma:

T = a - c c d ∈ V   |   a , b , c   ∈ R

T = a 1 0 0 0 + c 0 - 1 1 0 + d 0 0 0 1 ∈ V   |   a , b , c   ∈ R

Logo T = 1 0 0 0 ,   0 - 1 1 0 , 0 0 0 1

Passo 3

Tiramos, portanto, que dim ⁡ S = 2   e dim ⁡ T = 3

Além disso, S ⊂ T , logo S + T = T   → dim ⁡ S + T = dim ⁡ T = 3

Para ver que S ⊂ T basta pegar qualquer matriz A   ∈ T com segundo vetor da base de T multiplicado por zero, ou seja:

A = x 1 0 0 0 + 0 0 - 1 1 0 + y 0 0 0 1   ∈ S  

Resposta

Letra A

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