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Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q13

Sejam

S = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a - c = 0   e T = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a - b + d = 0     .

Nestas condições S e T são subespaços vetoriais de M 2 ( R ) e

a dim ⁡ S ∩ T = 2 ;

b dim ⁡ S ∩ T = 1 ;

c dim ⁡ S ∩ T = 3 ;

d   S ⊆ T ;

e T ⊆ S .

Passo 1

Falaaaa, blz??? Bom, quando a questão fala de dimensão nós já temos que pensar em base dos espaços vetoriais, como foi feita em várias questões dessa P3. Para analisar a base, vamos melhorar esses espaços:

S = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a - c = 0  

S = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a = c  

S = a b a d ∈ M 2 ( R )     |   a , b , d   ∈ R

S = a 1 0 1 0 + b 0 1 0 0 + d 0 0 0 1   |   a , b , d   ∈ R

Logo:

S = 1 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1

Dai, dim ⁡ S = 3

Passo 2

Pelo menos processo para T:

T = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a - b + d = 0  

T = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a = b - d  

T = b - d b c d ∈ M 2 ( R )     |   b , c , d   ∈ R  

T = b 1 1 0 0 + c 0 0 1 0 + d - 1 0 0 1 ∈ M 2 ( R )     |   b , c , d   ∈ R  

Logo:

T = 1 1 0 0 , 0 0 1 0 , - 1 0 0 1

Dai dim ⁡ T = 3

Agora vamos lembrar da seguinte equação:

dim ⁡ S + T = dim ⁡ S + dim ⁡ T - dim ⁡ S ∩ T

Passo 3

Como queremos dim ⁡ S ∩ T , precisamos achar dim ⁡ S + T .

S + T = 1 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1 + 1 1 0 0 , 0 0 1 0 , - 1 0 0 1 =

=   1 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 0 , - 1 0 0 1  

Mas veja que 1 0 1 0 , 0 1 0 0 = 1 1 0 0 , 0 0 1 0 , ou seja, podemos tirar 2 desses vetores.

S + T = 1 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1 , - 1 0 0 1  

Agora temos que essas matrizes são L.I, pois:

a 1 0 1 0 + b 0 1 0 0 + c 0 0 0 1 + d - 1 0 0 1 = 0

a - d = 0 b = 0 a = 0 c + d = 0

Daí, tiramos que a = d = b = c = 0 , logo é L.I.

Ou seja dim ⁡ S + T = 4

Voltando na equação:

dim ⁡ S + T = dim ⁡ S + dim ⁡ T - dim ⁡ S ∩ T

4 = 3 + 3 - dim ⁡ S ∩ T   →   dim ⁡ S ∩ T = 2

Resposta

dim ⁡ S ∩ T = 2

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