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Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q15

Sejam S e T os subespaços de P 3 R = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   |   a i   ∈ R } definidos por

S = { p x ∈ P 3 R   |   p 1 = 0 }   e   T = { p x ∈ P 3 R   |   p ' 1 = 0 }   ,

Onde p ' ( x ) é a derivada da função polinomial p ( x ) em relação à variável x. Considere as seguintes afirmações.

I d i m d i m   S ∩ T   = 2 ;

I I d i m d i m   S + T   = 3 ;

I I I d i m d i m   T   = 2 .

Passo 1

Falaaa, tranquilo??? Bora para mais uma questão envolvendo dimensão de subespaços.

Nessa questão, a gente tem 1 polinômio e 2 subespaços. E o que a gente precisa fazer é avaliar 3 afirmações sobre a dimensão de subespaços.

Como já foi feito em outras questões dessa mesma prova, quando falamos de dimensão de subespaços podemos olhar para a base deles. Então vamos fazer isso pra cada subespaço..

Passo 2

Vamos começar com S .

S = { p x ∈ P 3 R   |   p 1 = 0 }  

S = { p x ∈ P 3 R   |   a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0   ,         a i   ∈ R }  

Usando que S = a 0 ,   a 1 , a 2 , a 3 B   ,   a i   ∈ R , vamos substituir que a 0 = - a 1 - a 2 - a 3

S = - a 1 + a 2 + a 3 ,   a 1 , a 2 , a 3 B   ,             a i   ∈ R

Onde B = { 1 , x , x 2 , x 3 } base de P 3 ( R ) . Então podemos escrever

S = a 1 - 1,1 , 0,0 B + a 2 1,0 , 1,0 B + a 3 1,0 , 0,1 B   ,   a i   ∈ R

Logo S = - 1,1 , 0,0 B , 1,0 , 1,0 B   , 1,0 , 0,1 B   e d i m d i m     S = 3  

Passo 3

Além disso:Agora vamos achar a dimensão de T .

T = { p x ∈ P 3 R   |   p ' 1 = 0 }

Sendo que p ' 1 = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 = a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 . Então:

T =   p x ∈ P 3 R   |   a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 ,         a i ∈ R

Usaremos que T = a 0 ,   a 1 , a 2 , a 3 B   ,   a i   ∈ R e a 1 = - 2 a 2 - 3 a 3

T = a o , - 2 a 2 - 3 a 3 , a 2 , a 3 ,                 a i ∈ R

T = { a 0 1,0 , 0,0 B + a 2 0 , - 2,1 , 0 B + a 3 0 , - 3,0 , 1 B   ,       a i   ∈ R }

Portanto T = 1,0 , 0,0 B ,   0 , - 2,1 , 0 B ,   0 , - 3,0 , 1 B

Logo d i m d i m   T = 3  

Então descobrimos que a afirmativa I I I é FALSA.

Passo 2

Agora vamos lembrar da seguinte equação:

Passo 4

Agora vamos olhar para S   ∩   T :

S ∩ T = { p x ∈ P 3 R   |   p 1 = 0   ,   p ' 1 = 0

S ∩ T = { p x ∈ P 3 R   | { p x ∈ P 3 R   |   a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0   e   a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = 0    

S ∩ T = { a o , a 1 , a 2 , a 3 B   |   a i   ∈ R }  

De a o + a 1 + a 2 + a 3 = 0   e   a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = 0     tiramos:

a 0 = - ( a 1 + a 2 + a 3 )   e   a 1 =   - 2 a 2 - 3 a 3 , logo:

a 0 =   - - 2 a 2 - 3 a 3 + a 2 + a 3 = - - a 2 - 2 a 3 = a 2 + 2 a 3

Ou seja, voltando em S ∩ T = { a o , a 1 , a 2 , a 3 B   |   a i   ∈ R } :

S ∩ T = { a 2 + 2 a 3 , - 2 a 2 - 3 a 3 , a 2 , a 3 ,           a i   ∈ R }

Então:

S ∩ T = { a 2 1 , - 2,1 , 0 + a 3 2 , - 3,0 , 1 ,   a i   ∈ R }

E finalmente S ∩ T = 1 , - 2,1 , 0 , 2 , - 3,0 , 1 e, portanto, d i m d i m   S ∩ T   = 2

Então descobrimos que a afirmativa I é VERDADEIRA.

Passo 5

Passo 6

Usando que:Agora pra achar S + T   vai ser mais fácil. Como já calculamos as dimensões de S  

, T e S ∩ T , podemos usar essa equação aqui:

d i m d i m   S + T   = d i m d i m   S   + d i m d i m   T   - d i m d i m   S ∩ T  

Achamos d i m d i m   S + T   = 3 + 3 - 2 = 4

Então descobrimos que a afirmativa I I é FALSA.

Resposta

Somente (I) é verdadeira.

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