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Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

USP, 2018.1, P3, Q7

Em R 4 se consideram os subespaços vetoriais

S = [ 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1,0 , 0,1 , 2,1 ]

T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 - x 3 - x 4 = 0 ,   x 2 + x 3 = 0 }

Então

a dim ⁡ S = 2   e dim ⁡ S + T = 3

b dim ⁡ S = 2   e dim ⁡ S + T = 4

c dim ⁡ S = 3   e dim ⁡ S + T = 4

c dim ⁡ S = 3   e dim ⁡ S ∩ T = 1

e dim ⁡ S ≠ dim ⁡ T   e   S + T = R 4

Passo 1

Falaaaa, tranquilo?? Vamos começar essa questão entendendo como podemos atacá-la.

Na questão, as letras falam sobre dim ⁡ S ,   S + T   e   S ∩ T . Temos uma equação que relaciona tais conceitos:

dim ⁡ S + T = dim ⁡ S + dim ⁡ T - dim ⁡ S ∩ T

Bom, para pensar em dimensão de espaços temos que achar quantos vetores pertencem a base de cada subespaço. Uma vez que se a base do subespaço possui n vetores, ele gera um espaço com dimensão n .

Passo 2

Vamos começar a descobrir qual a dimensão de S.

S = [ 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1,0 , 0,1 , 2,1 ]

Bom, é bem direto que 1,0 , 1,1 - ( 0,1 , 2,1 ) = 1 , - 1 , - 1,0

Logo, como um vetor é combinação dos outros 2, o conjunto:  

{ 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1,0 , 0,1 , 2,1 }   n ã o   é   L . I

Portanto, 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1,0 , 0,1 , 2,1 = [ 1,0 , 1,1 , 0,1 , 2,1 ]  

Esse dois [ 1,0 , 1,1 , 0,1 , 2,1 ]   são L.I. Logo

dim ⁡ S = d i m 1,0 , 1,1 , 0,1 , 2,1 = 2

Passo 3

Agora vamos analisar a dimensão de T.

T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 - x 3 - x 4 = 0 ,   x 2 + x 3 = 0 }

ou

T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 = x 3 + x 4 ,   x 2 = - x 3 }

Se x 1 = x 3 + x 4 e   x 2 = - x 3 , então sabemos que esses 4 vetores não são L.I, porque x 1 e x 2 são uma combinação linear de x 3 e x 4 .

Logo podemos escrever

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = x 3 + x 4 , - x 3 , x 3 , x 4 = x 3 1 , - 1,1 , 0 + x 4 ( 1,0 , 0,1 )

Ou seja, T = [ 1 , - 1,1 , 0 , 1,0 , 0,1 ] que são L.I e dim ⁡ T = 2

Passo 4

Agora nós queremos analisar d i m ⁡ ( S + T ) .

Lembrando que S = 1,0 , 1,1 , 0,1 , 2,1 e T = 1 , - 1,1 , 0 , 1,0 , 0,1  

S + T =     1,0 , 1,1 , 0,1 , 2,1 , 1 , - 1,1 , 0 , 1,0 , 0,1

Agora vamos analisar qual a dimensão de S + T .

Para analisarmos a dimensão de S + T vamos achar o posto da matriz com linhas sendo os vetores da base de S + T, ou seja:

1 0 1 1 0 1 2 1 1 - 1 1 0 1 0 0 1 L 3 = L 3 - L 4 → 1 0 1 1 0 1 2 1 0 - 1 1 - 1 0 0 0 1 L 3 = L 3 + L 2 →

1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 3 0 0 0 0 1 → 1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1

Ou seja, o posto da matriz é 3, então a dimensão de S + T = 3

Passo 5

Agora vamos voltar praquela equaçãozinha bonita do passo 1 e substituir os valores que encontramos.

dim ⁡ S + T = dim ⁡ S + dim ⁡ T - dim ⁡ S ∩ T

3 = 2 + 2 - dim ⁡ S ∩ T

dim ⁡ S ∩ T = 1

Resposta

Letra (a)

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