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Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Exercício 1712345678910111213141516181920212223

Enunciado

USP, 2018, PREC, Q6

Dado um triângulo A B C , sejam P ,   Q ,   R pontos sobre os lados B C - ,   C A - , A B - , respectivamente, tais que B P → =   2 P C → ,     C Q → =   2 Q A →   e     A R → = 2   R B → . Então podemos afirmar que   A P → +   B Q → +   C R → é igual a:

a )     A B →

b )     P Q → + 2   Q R → + 3   R P →

c )     A B → +   2 B C → + 3   C A →

d )   0

e )   3   A B → + 2   B C → +   C A →

Passo 1

Falaaa, blz??? Primeiro queria passar uma ideia legal, sobre questões desse tipo, se você quiser ver apenas a solução começa no passo 2, primeiro passarei apenas uma ideia legal que acontece aqui.

Como disse, antes de começar essa questão, vou deixar uma reflexão interessante para resolver problemas com alternativas.

Essa questão é o tipo de problema que pede para que a resposta seja zero. Vamos pensar nisso:

Veja que os pontos A,B e C são quaisquer, os pontos P,Q e R tem o mesmo “peso” no problema, veja que eles fazem basicamente a mesma coisa porém em lados diferentes. Agora vamos olhar para o que é pedido (   A P → +   B Q → +   C R → ) . Pense que todos esses vetores (   A P → ,   B Q →   e   C R → ) são a baseados na mesma coisa, porém em pontos diferentes, pois:

A P → , por exemplo, liga o ponto A (qualquer) até o ponto P que corta o lado contrário ao A

B Q → , por exemplo, liga o ponto B (qualquer) até o ponto Q que corta o lado contrário ao B.

C R → faz exatamente a mesma coisa, liga C até o ponto R

A motivação que quero passar, para você perceber que isso tem q dar zero, é que os pontos envolvidos no problema não estão presos por nada além dessa proporção de 2 para 1 ( B P → =   2 P C → ,     C Q → =   2 Q A →   e     A R → = 2   R B → ) que ocorre de forma equivalente para todos, ou seja, tudo na questão tem o mesmo peso, a mesma relevância, não faria sentido, por exemplo, ser a letra A, pois ela dependeria apenas de A e B, mas A e C tem mesmo peso, B e C também. Não acho muito trivial entender isso, porém é algo que pode nos dar uma motivação inicial na resolução de problemas desse tipo.

Passo 2

Depois desse textão, vamos começar a questão, mas já esperando que de zero.

Primeiro, vamos escrever quais são esses vetores pedidos em   A P → +   B Q → +   C R → :

    A P → =     A C → +     C P →

B Q → =   B C → + C Q →

  C R → =     C B → +   B R →

Somando as 3 equações:

  A P → +   B Q → +   C R → = A C → +     C P → +   B C → + C Q → + C B → +   B R →

Agora veja que B C → = - C B → , logo:

A P → +   B Q → +   C R → = A C → +     C P → + C Q → +   B R →

Além disso, temos que:

C P → = 1 3 C B →

C Q → = 2 3 C A →

B R → = 1 3 B A →

Logo:

A P → +   B Q → +   C R → = A C → + 1 3 C B → + 2 3 C A → + 1 3 B A →

A P → +   B Q → +   C R → = 3 A C → +   C B → + 2 C A → + B A → 3  

A P → +   B Q → +   C R → = A C → +   C B → + B A → 3

Passo 3

Porém, agora vamos lembrar que ABC formam um triângulo, ou seja, A C → +   C B → + B A → = 0 , pois fecham um ciclo.

Logo:

A P → +   B Q → +   C R → = 0

Resposta

Letra D

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