USP, 2018, PREC, Q4
Em , seja o plano que contém o ponto e a reta de equação . A equação da reta perpendicular a e que passa pelo ponto é:
Passo 1
Faaaaala, blz??? Então, vamos entender o que tá rolando e o que precisamos.
Temos um plano, um ponto nele e outros infinitos pontos do plano (que estão na reta). Dessas 2 informações conseguimos tirar 2 vetores de , com isso conseguimos achar um vetor perpendicular a ele e depois achamos a equação do plano. Vamos focar nisso.
Veja que e são pontos do plano, além disso, o vetor pertence ao plano, pois é o vetor diretor da reta r e a reta r está no plano.
Agora usaremos uma propriedade importante de produto vetorial:
Seja temos que é perpendicular ao plano, pois os dois vetores do produto vetorial pertencem a .
Passo 2
Ou seja, temos que um plano qualquer pode ser escrito da forma:
Onde é o vetor perpendicular a ele.
Logo, temos que no caso especifico do plano da questão, temos:
Além disso, como
Logo
Passo 3
Agora, vamos fazer uma leve reflexão do que temos.
Temos um plano (já sabemos a equação) e queremos achar uma reta perpendicular a ele, passando por um ponto específico C (dado). Além disso, uma reta pode ser escrita da forma parametrizada (como está nas alternativas), para escrever dessa forma basta termos um ponto dela e o vetor paralelo a ela.
Como foi dito, o vetor é perpendicular ao plano, e portanto, paralelo à reta pedida.
Ou seja, temos as letras B e C como possíveis respostas, porém veja que o ponto C pertence à reta da letra C, basta tomar
Resposta
Letra C