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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2018, PREC, Q5

Considere os seguintes casos

I E = P 4 R   (o espaço dos polinômios de grau ≤ 4   ) e V = P ∈ E   : P 2 = 0   e   P ' 2 = 2

( I I ) E = M 2 ( R ) e V é o conjunto das matrizes de E tais que a soma das entradas da diagonal principal é zero

( I I ) E = R 7 e V é o conjunto dos elementos ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) de E satisfazendo a equação

x 2 - x 3 + x 4 = x 1 x 7 - x 6 + x 3 = x 1 x 2 x 3 = x 5                              

É corretor afirmar que V é um subespaço vetorial de E

a nos casos I I   e   ( I I I ) , somente

b no caso I somente

c em nenhum dos casos

d no caso (III ) , somente

e no caso I I somente

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar essa questãozinha relembrando o conceito de subespaço vetorial.

Para um subconjunto não vazio V de um espaço E ser subespaço vetorial de E, precisamos que:

i .   O   e l e m e n t o   n e u t r o   d e   E   e s t á   e m   V

i i .   ∀   u , v   ∈ V   , t e m o s   q u e   u + v   ∈ V

i i i .   ∀   u ∈ V   e   α ∈ R ,   t e m o s   q u e   α u ∈ V

Com isso, bora analisar a primeira afirmação:

I E = P 4 R   (o espaço dos polinômios de grau ≤ 4   ) e V = P ∈ E   : P 2 = 0   e   P ' 2 = 2

Bom, para começar vamos analisar se o elemento neutro de E   tá em V:

O elemento neutro de P 4 ( R ) é o polinômio identicamente nulo, ou seja, p x = 0 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0 = 0   ,   ∀   x ∈ R

Logo, podemos ver que P 2 = 0 ,     p o r é m     p ' x = 0 , ou seja, p x não tá em V, portanto, não é subespaço vetorial de E.

Passo 2

Bora então para a próxima afirmação:

Temos que:

E = a b c d ∈ M 2 R :     a , b , c , d   ∈ R

V = a b c - a ∈ M 2 R :     a , b , c   ∈ R

O elemento neutro de E é a matriz nula, ou seja, podemos dizer que a soma dos elementos da diagonal principal é zero, portanto o elemento neutro tá em V.

Agora bora ver a segunda necessidade para V ser subespaço.

Tomaremos duas matrizes de V e queremos ver se a soma está em V...

u = a b c - a

v =   d e f - d

u + v =   a + d b + e c + f - a - d

Veja que a soma da diagonal principal continua sendo zero, ou seja, u + v ∈ V . Agora basta analisarmos a última necessidade.

Tomando u   ∈ V   t a l   q u e   u = a b c - a     e   α ∈ R .

Queremos ver se α u   ∈ V

α u = α a b c - a =   α a b α c α - a α  

Veja que:

α a - α a = 0

Logo α u   ∈ V .

Ou seja, a segunda afirmação está correta.

Passo 3

Acho que agora já está mais claro como trabalharmos. Bora para a última afirmação.

( I I ) E = R 7 e V é o conjunto dos elementos ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) de E satisfazendo a equação

x 2 - x 3 + x 4 = x 1 x 7 - x 6 + x 3 = x 1 x 2 x 3 = x 5                              

Bom, vamos lá. A primeira coisa é ver se o elemento neutro de E está em V. Lembrando que o elemento neutro do R 7 é o vetor ( 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 )

Veja que podemos substituir os valores dentro do sistema e ele será verdade, pois o lado esquerdo sempre dará zero e o direito também, em todas equações.

Além disso, vamos tomar u , v ∈ V   e ver se a soma está em V.

Seja u =   ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) e v = y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 , y 7

u + v = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 , x 4 + y 4 , x 5 + y 5 , x 6 + y 6 , x 7 + y 7   )

Agora, queremos ver se:

x 2 + y 2 - x 3 + y 3 + ( x 4 + y 4 ) = x 1 + y 1 x 7 + y 7 - x 6 + y 6 + x 3 + y 3 = x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 = x 5 + y 5  

Veja que a primeira e segunda equação são verdades, diretamente, basta ver que x 2 - x 3 + x 4 = x 1   e   y 2 - y 3 + y 4 = y 1

Logo a primeira equação é verdadeira. Vale o mesmo pensamento para segunda, agora bora ver a terceira.

Sabemos que:

x 2 x 3 = x 5 y 2 y 3 = y 5

Vamos sair disso e ver se x 2 + y 2 x 3 + y 3 = x 5 + y 5

  x 2 + y 2 x 3 + y 3 = x 2 x 3 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 2 y 3 = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 5

Porém, é fácil ver que:

x 2 + y 2 x 3 + y 3 = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 5 ≠ x 5 + y 5

Basta tomar x 2 , x 3 , y 2   e   y 3 tais que x 2 y 3 + x 3 y 2 ≠ 0

Ou seja, não é subespaço vetorial

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão