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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

USP, 2018, PREC, Q15

Considere as seguintes afirmações sobre os vetores em V 3

I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ i → ∧ x → = x →   é   x → = 0 →

I I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ i → ∧ i → = 0 →   é   x → = 0 →

I I I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ x → ∧ i → = 0 →   é   x → = 0 →

Assinale a alternativa correta

a )   a s   t r ê s     a f i r m a ç õ e s   s ã o   v e r d a d e i r a s

b )   s ó   I   é   v e r d a d e i r a

c )   s ó   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a

d )   a s   t r ê s   a f i r m a ç õ e s   s ã o   f a l s a s

e )     s ó   I I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

Passo 1

Falaa, beleza?? Bom, bora começar essa questão lembrando do seguinte conceito:

u → ∧ v → = 0 →   ↔   p e l o   m e n o s   u m   d e l e s   é   n u l o   o u   e l e s   s ã o   c o l i n e a r e s

Isso aqui sai diretamente do fato do produto vetorial ser calculado por determinante.

Bora olhar para primeira afirmação:

I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ i → ∧ x → = x →   é   x → = 0 →

Vamos chamar x → ∧ i → = v → para facilitar

Por conta da linha anterior, podemos afirmar que v → é perpendicular a x → . O que a afirmação nos diz é que v → ∧ x → = x → , porém, veja que ela está dizendo que x → é perpendicular a v → e x → . Agora pense, como um vetor será perpendicular a ele mesmo e perpendicular a alguém perpendicular a ele??? É meio absurdo né? Então, podemos falar que a única solução para essa equação é x → = 0 .

Passo 2

Agora vamos ver as outras afirmações:

I I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ i → ∧ i → = 0 →   é   x → = 0 →

Bom, aqui, vamos tomar novamente x → ∧ i → = v → , ou seja, temos v → ∧ i → = 0 →

Pelo conceito citado no começo da resolução, sabemos que v → é nulo ou possui mesma orientação de i → . Vamos analisar esse primeiro caso:

S e   v →   n u l o ,   c o m o   v → = x → ∧ i → ,   t e m o s   q u e   x → = 0 →   o u   x → = k i →   ( p a r a l e l o )

Ou seja, caso tenhamos x → = k i →   → x → ∧ i → = 0 → ∴ x → ∧ i → ∧ i → = 0 →   , logo, basta tomarmos um vetor x sendo paralelo ao vetor i que será solução da equação. Então a afirmação está errada

Passo 3

I I I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ x → ∧ i → = 0 →   é   x → = 0 →

Essa aqui é uma aplicação direta do conceito citado. Já sabemos que x → ∧ x → = 0 , pois são paralelos. Além disso o produto vetorial de qualquer vetor com um vetor nulo é zero, logo, basta tomarmos x → qualquer, que a equação terá solução (não existe apenas a solução x → = 0 → )

Resposta

Letra D

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B