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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

USP, 2018, PREC, Q10

Considere as seguintes afirmações

I   ∀   u → , v → , w → ∈ V 3 ,   s e   u → ∧ v → = w →   e n t ã o   w → ∧ v → = - u →

I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   t a i s   q u e   u → ∙ v → = - 4   e   u → = v → = 5 ,   v a l e   q u e     u → ∧ v → = 3

I I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   s e   u → , v → , w →   é   b a s e   p o s i t i v a ,   e n t ã o   u → - v → , v → - w → , w →   t a m b é m   é  

b a s e   p o s i t i v a

Então está certo o que se afirma em

a )   I I   e   I I I   s o m e n t e

b )   I   e   I I I   s o m e n t e

c )   I I I   s o m e n t e

d )   I   s o m e n t e

e )   I I   s o m e n t e

Passo 1

Falaaa, blz?? Então, vamos começar essa questão ela primeira afirmação:

I   ∀   u → , v → , w → ∈ V 3 ,   s e   u → ∧ v → = w →   e n t ã o   w → ∧ v → = - u →

Essa afirmação é falsa, basta tomarmos 3 vetores como exemplo.

  u → = 1,1 , 1 ;     v → = - 1 , - 1 , - 2

Achamos que   w → = u → ∧ v → = ( - 1,1 , 0 )

Porém, temos que w → ∧ v → = ( - 2 , - 2,2 ) ≠ - u →

Passo 2

Agora bora para próxima afirmação.

I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   t a i s   q u e   u → ∙ v → = - 4   e   u → = v → = 5 ,   v a l e   q u e     u → ∧ v → = 3

u → ∙ v → = u → v → c o s θ = - 4

- 4 = 5 5 c o s θ → c o s θ = - 4 25

Agora vamos usar a relação fundamental da trigonometria que nos diz:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

s e n 2 θ = 1 - 16 25 2 = 609 25 2

Vamos tomar s e n θ = 609 25 e checar.

Agora vamos usar que:

  u → ∧ v → = u → v → s e n θ ≠ 3

Logo é mentira

Passo 3

Bom, como é uma questão com escolhas já sabemos qual a resposta, mas vamos lá. Nosso intuito aqui é achar que o determinante com entradas da base u → - v → , v → - w → , w → é maior do que zero, nesse caso a matriz é positiva.

Sejam:

u = x 1 , y 1 , z 1

v = x 2 , y 2 , z 2

w = ( x 3 , y 3 , z 3 )

M = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Pelo enunciado, sabemos que det ⁡ M > 0 .

Queremos estudar o determinante da matriz P dada por:

P = det ⁡ x 1 - x 2 x 2 - x 3 x 3 y 1 - y 2 y 2 - y 3 y 3 z 1 - z 2 z 2 - z 3 z 3

Agora vamos usar que podemos fazer combinações lineares das linhas de uma matriz que isso não altera o determinante. Parecido quando escalonamos.

det ⁡ P             L 2 = L 2 + L 3               → x 1 - x 2 x 2 x 3 y 1 - y 2 y 2 y 3 z 1 - z 2 z 2 z 3

Agora vamos fazer a L1 = L1 + L2:

det ⁡ P = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 > 0 ,   c o m o   j á   f o i   d i t o

Logo, como det(P) > 0, temos que a base na qual P está escrita (base u → - v → , v → - w → , w → )   é positiva.

Resposta

Letra c

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
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Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B