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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

USP, 2018, PREC, Q16

Sejam α , β ∈ R .   Considere o sistema linear

x + y + z = 0 x + β y + z = α x - β y + β z = α

Assinale a afirmação verdadeira

a ) não existe valor de α   e   β para que o sistema seja compatível indeterminado

b ) se β = 1 , o sistema tem exatamente uma variável livre

c ) Se o sistema é compatível e indeterminado então α = 0   e   β ≠ 1

d ) o sistema é compatível para α   e   β quaisquer

e ) o sistema é compatível determinado se, e somente se, β ≠ 1

Passo 1

Falaa, blz?? Bora analisar essa questão envolvendo sistema.

Da primeira equação, tiramos que x = - y - z

Colocando isso na segunda equação, temos:

x + β y + z = α → - y - z + β y + z = α ∴ y β - 1 = α   ( * * )

Agora a gente tem que entender que nosso objetivo é achar x,y e z em função de α   e   β , porém, para isolarmos y em ( * * ) , temos que fazer β ≠ 1 , supondo isso:

y =   α β - 1

Passo 2

Agora vamos usar a terceira equação:

x - β y + β z = α

Substituindo o valor de x:

- y - z - β y + β z = α

Substituindo o valor de y:

- α β - 1 - z - β α β - 1 + β z = α

β z - z - α β - 1 + β α β - 1 = α

β z - z - α + β α β - 1 = α

z β - 1 = α + α + β α β - 1

z = α β - 1 + α + β α β - 1 2 = 2 β α β - 1 2

Passo 3

Além disso, podemos voltar em x = - y - z :

x = - α β - 1 - 2 β α β - 1 2 = - β - 1 α - 2 β α β - 1 2 = - 2 β α - α β + α β - 1 2 = - 3 β α + α β - 1 2

Ou seja, achamos a forma da solução do sistema, que é:

- 3 β α + α β - 1 2 ,   α β - 1 , 2 β α β - 1 2

Porém isso só ocorre para β ≠ 1 , ou seja, temos que o gabarito é a letra E

Resposta

letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22