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Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

USP, 2018, PREC, Q11

Em P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   : a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R , considere os subespaços vetoriais

V = 1 , x , x 2   e   W = P ∈ P 3 R   : P 1 = 0 . Assinale a afirmação correta:

a )   d i m V > dim ⁡ W ,   e   V ∩ W   t e m   d i m e n s ã o   1

b )     V = W

c )   d i m V = dim ⁡ W ,   e   V ∩ W   t e m   d i m e n s ã o   1

d )   d i m V > dim ⁡ W ,   e   V + W = P 3 R

e ) dim ⁡ V = dim ⁡ W ,   e   V + W = P 3 ( R )

Passo 1

Faaaaala, tranquilo?? Bora começar essa questão envolvendo subespaços e dimensão.

Bom, bora começar lembrando que a dimensão de um subespaço é dada pela quantidade de vetores (no nosso caso os vetores são polinômios) que pertencem à base desse subespaço. Já que estamos falando disso, vale ressaltar, pois a questão não deixa claro, que a dimensão do espaço P 3 ( R ) é 4, pois P 3 R = 1 , x , x 2 , x 3 .

Dito isso, acho q está tranquilo ver que dim ⁡ V = 3 , agora nosso problema é ver qual a dimensão do W.

Passo 2

Vamos tomar um polinômio qualquer q x   ∈ W .

Sabemos que q x ∈ P 3 R ,   l o g o   é   e s c r i t o   c o m o :

q x = q 0 + q 1 x + q 2 x 2 + q 3 x 3

Porém, temos que q 1 = 0 , ou seja:

q 0 + q 1 + q 2 + q 3 = 0 ∴ q 0 =   - ( q 1 + q 2 + q 3 )

Logo, podemos reescrever q x sendo:

q x = - q 1 + q 2 + q 3 + q 1 x + q 2 x 2 + q 3 x 3

Ou seja, veja que em termos da base 1 , x , x 2 , x 3 , temos que:

q x = - q 1 + q 2 + q 3 , q 1 , q 2 , q 3

= q 1 - 1,1 , 0,0 + q 2 - 1,0 , 1,0 + q 3 ( - 1,0 , 0,1 )

Passo 3

Assim, podemos concluir que q ( x ) dependerá apenas de 3 valores, ou seja, a dimensão de W será 3.

Ou seja, pode ser a letra B, C ou E.

A letra B nos diz que os subespaços são iguais, porém é mentira, basta tomar:

p x ∈ V   t . q   p x = 2 x ,   v e j a   q u e   p 1 ≠ 0 → p   n ã o   e s t á   e m   W

Bom, agora bora ver que a letra E nos diz que qualquer polinômio do terceiro grau pode ser escrito como alguém gerado por 1 , x , x 2 e alguém de W (com p(1)=0). Basta pegar um exemplo q ficará claro:

p x = a x 3 + b x 2 + c x + d   ∈ P 3 ( R )

Nosso objetivo é mostrar que esse polinômio pode ser escrito como um cara de V com um cara de W.

Vamos tomar p V x = b x 2 + c x + d + a     e   p w ( x ) = a x 3 - a

Veja que p V x é gerado por V e p W é um cara de W, além disso:

p x = p V x + p W ( x )

Logo, a alternativa está correta.

Resposta

Letra E

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