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Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Exercício 1712345678910111213141516181920212223242526

Enunciado

USP, 2018, PREC, Q9

Sabe-se que A = ( 0,2 , 1 ) é vértice de um quadrado que possui uma diagonal contida na reta r : x + 1 = - y + 2 = 2 z . Então é correto afirmar que existe um outro vértice C = ( a , b , c ) do quadrado com a + b + c igual a:

a ) 2 3  

b ) - 1 3

c ) 1 3

d ) - 2 3

e ) - 4 3

Passo 1

Falaaa, blz?? Para começar essa questão vamos checar se esse ponto A está diagonal contida na reta r, para entendermos o que precisamos fazer.

Para ver isso, basta jogarmos ( 0,2 , 1 ) na equação da reta r. Fazendo isso, teríamos:

1 = 0 = 2 ,   o u   s e j a ,   A   n ã o   t á   n a   r e t a   r

Agora vamos reescrever a equação da reta de uma forma mais fácil de analisar, vamos jogar z = t :

r :   x = - 1 + 2 t y = 2 - 2 t       z = t                          

Ou seja, o ponto - 1,2 , 0 ∈ r   e   v → = 2 , - 2,1   é   p a r a l e l o   a   r e t a   r

Passo 2

Além disso, vamos tomar o ponto central, ou seja, a interseção entre as diagonais, é o ponto E.

Porém E ∈ r ,   o u   s e j a :

E = ( - 1 + 2 t e , 2 - 2 t e , t e )      

Podemos dizer que A E → ∙ v → = 0 , pois é um quadrado, ou seja, a diagonal é perpendicular ao vetor v → .

A E → ∙ v → = - 1 + 2 t e , 2 - 2 t e , t e ∙     2 , - 2,1 = 0  

- 2 + 4 t e - 4 + 4 t e + t e = 0

9 t e = 6 ∴ t e = 2 3

Daqui temos que E = - 1 + 4 3   ,   2 - 4 3   , 2 3 = 1 3 , 2 3 , 2 3

Passo 3

Agora, usaremos que E é o ponto médio do segmento AC. Ou seja:

a + 0 2 , b + 2 2 , c + 1 2 =   1 3 , 2 3 , 2 3

Logo a = 2 3 ; b = - 2 3 ; c = 1 3

Então a + b + c = 1 3

Resposta

Letra C

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