Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

Ver Teoria
Exercício 1912345678910111213141516171820212223

Enunciado

USP, 2018, PREC, Q2

Nesta questão, a → , b → , c → representa o produto misto de três vetores a → , b → , c →   d e   V 3 . Considere as seguintes afirmações para u → , v → , w → , v ' → , w ' → vetores de V 3

I   u → , v → + v ' → , w → + w ' → = u → , v → , w → + u → , v ' → , w ' →

I I   S e   u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   p o s i t i v a   e n t ã o   - u → + v → - w → , - v → + w → , w → > 0

I I I   S e   u →   e   v →   s ã o   o r t o g o n a i s   e   n ã o   n u l o s ,   e   u → , v → , w → = u v w ,   e n t ã o   w →   é    

p a r a l e l o   a o   v e t o r   n o r m a l   a o   p l a n o   d e   E 3   d e   e q u a ç ã o   X = O + λ u → + μ v → .

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora para essa segunda questãozinha envolvendo produto misto.

Bora lembrar o que é produto misto:

a → , b → , c → =   a →   ∙ b → × c →

Ou seja:

Se a → = x 1 , y 1 , z 1 ,     b → = x 2 , y 2 , z 2   e   c → = ( x 3 , y 3 , z 3 )

a → , b → , c → =   x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3

Conseguimos tirar algumas propriedades disso (basta usar propriedades de determinante), como por exemplo:

a →   +   d → , b → , c → =   a → , b → , c → + d → , b → , c →

Com isso vamos para primeira afirmação:

I   u → , v → + v ' → , w → + w ' → = u → , v → , w → + u → , v ' → , w ' →

Bora aplicar a propriedade na última parte de u → , v → + v ' → , w → + w ' →

u → , v → + v ' → , w → + w ' → = u → , v → + v ' → , w → + u → , v → + v ' → , w ' →

Aplicando em cada um dos produtos mistos:

u → , v → + v ' → , w → + w ' → = u → , v → , w → + u → , v ' → , w → + u → , v → , w ' → + u → , v ' → , w ' →

Ou seja, a afirmação é falsa.

Passo 2

Bora agora para próxima afirmação:

I I   S e   u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   p o s i t i v a   e n t ã o   - u → + v → - w → , - v → + w → , w → > 0

Bora aplicar a propriedade da soma:

- u → + v → - w → , - v → + w → , w → = - u → + v → - w → , - v → , w → + - u → + v → - w → , w → , w →

Mas veja que - u → + v → - w → , w → , w → = 0 , podemos pensar que teríamos duas linhas iguais num determinante, ou seja, o determinante seria zero.

Logo:

- u → + v → - w → , - v → + w → , w → = - u → + v → - w → , - v → , w →

= - u → + v → , - v → , w → + - w → , - v → , w →

Vemos que - w → , - v → , w → = 0 , podemos usar o mesmo argumento de ser um determinante com uma linha sendo menos a outra, ou seja, determinante será zero.

- u → + v → - w → , - v → + w → , w → = - u → + v → , - v → , w →

= - u → , - v → , w → + v → , - v → , w → = - u → , - v → , w → =   u → , v → , w →  

Veja que se tomarmos u = 0,2 , 0   ,   v = 1,0 , 0 ,   w = 0,0 , 1 ,   t e m o s :

u → , v → , w → = - 2

Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Bora agora para última afirmação:

I I I   S e   u →   e   v →   s ã o   o r t o g o n a i s   e   n ã o   n u l o s ,   e   u → , v → , w → = u v w ,   e n t ã o   w →   é    

p a r a l e l o   a o   v e t o r   n o r m a l   a o   p l a n o   d e   E 3   d e   e q u a ç ã o   X = O + λ u → + μ v → .

O que queremos provar é que w → é perpendicular a u →   e   v → , uma vez que o plano de equação X = O + λ u → + μ v → tem u →   e   v → como vetores paralelos ao plano.

Bom, bora escrever a definição de u → , v → , w → :

u → , v → , w → =   u →   ∙ ( v → × w → )

Pelas propriedades de produto misto, temos que:

u →   ∙ v → × w → = w →   ∙ ( u → × v → )

Usando o produto escalar:

w →   ∙ u → × v → =   w   u → × v →   c o s θ

Onde θ é o ângulo entre w → e u → × v → .

Além disso, u → × v → =   u → v → s e n α , como u →   e   v →   s ã o   o r t o g o n a i s   → s e n α = s e n 90 º = 1

Logo:

u → × v → =   u → v →

Ajustando tudo:

u → , v → , w → = w →   ∙ u → × v → = w   u → × v →   c o s θ = w   u → v →   c o s θ = u v w  

Das duas últimas partes, tiramos que cos ⁡ θ = 1   →   θ = 0 .

Como θ é o ângulo entre w → e u → × v → , temos que w → é paralelo a u → × v → , porém, como u → × v →   é um vetor perpendicular tanto a u →   q u a n t o   a   v → , temos que w →   é   p e r p e n d i c u l a r   a   u →   e   v →

Resposta

Letra B

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma equação da esfera com centro em ( 2 , - 6 , 4 ) e raio 5 . Descreva sua intersecção com cada um dos planos coordenados.
Diz-se que o vetor v é combinação linear dos vetores v 1 ,v 2 ,...,v n quando se tem v=α 1 v 1+α 2 v 2+···+α n v n ,c o mα 1 ,α 2 ,...,α n∈R . Mostre que os vetores u ,vew são coplanares se, e somente
Determine uma equação da esfera com centro em ( 0 , 1 , - 1 ) e raio 4 . Qual é a intersecção dessa esfera com o plano y z ?
Escreva inequações para descrever a região dada.34. O cilindro sólido que está sobre ou abaixo do plano z = 8 e sobre ou acima do disco no plano x y com centro na origem e raio 2 .
Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A ( - 1,5 , 3 ) e B ( 6,2 , - 2 ) . Descreva o conjunto.