Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

Ver Teoria
Exercício 211234567891011121314151617181920222324252627

Enunciado

USP, 2018, PREC, Q13

Sejam u 1 → , u 2 → , u 3 →   vetores em V 3 , e sejam v 1 → , v 2 → , v 3 → os vetores

v 1 → = a 1 u 1 → + a 2 u 2 → + a 3 u 3 →

v 2 → = b 1 u 1 → + b 2 u 2 → + b 3 u 3 →

v 3 → = c 1 u 1 → + c 2 u 2 → + c 3 u 3 →

Onde a i , b i , c i ∈ R ,   i = 1,2 , 3   . Considere as seguintes afirmações:

I   V a l e   a   i d e n t i d a d e   v 1 → , v 2 → , v 3 → = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 u 1 → , u 2 → , u 3 → ;

I I   S e     v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I  

I I I   S e   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I

Assinale a alternativa correta:

a )     s ó   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

b )   s ó   I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

c )   s ó   I I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r o s

d )   s ó   I I   é   v e r d a d e i r a

e )   a s   t r ê s   s ã o   v e r d a d e i r a s

Passo 1

Faaala, blz?? Bora começar essa questão pela primeira afirmação, envolvendo produto misto

I   V a l e   a   i d e n t i d a d e   v 1 → , v 2 → , v 3 → = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 u 1 → , u 2 → , u 3 → ;

Bom, essa afirmação é falsa, basta tomarmos um exemplo.

v 1 → = 1,0 , 0

v 2 → = ( 0,1 , 0 )

v 3 → = ( 0,0 , 0 )

Veja que:

v 1 → , v 2 → , v 3 → = p l a n o   X Y

Além disso, temos que:

v 1 → = 1 u 1 → + 0 u 2 → + 0 u 3 →

v 2 → = 0 u 1 → + 1 u 2 → + 0 u 3 →

v 3 → = 0 u 1 → + 0 u 2 → + 0 u 3 →

Onde:

u 1 → = 1,0 , 0

u 2 → = ( 0,1 , 0 )

u 3 → = ( 0,0 , 1 )

Mas, nesse caso, temos que a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = 0 , ou seja, teríamos que v 1 → , v 2 → , v 3 → = 0 →   ( f a l s o )

Passo 2

Bora para as próximas afirmações. Primeiro vamos lembrar do conceito de L.I:

  v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I   ↔ a   ú n i c a   s o l u ç ã o   p a r a   a v 1 → + b v 2 → + c v 3 → = 0   é   a = b = c = 0   ( * * * )

Analogamente, temos:

  u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I   ↔ a   ú n i c a   s o l u ç ã o   p a r a   a u 1 → + b u 2 → + c u 3 → = 0   é   a = b = c = 0   ( * * * * )

Bora ver a segunda afirmação:

I I   S e     v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I  

Tomando que     v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I :

Vamos substituir os valores de v 1 → , v 2 →   e   v 3 → em (***)

a a 1 u 1 → + a 2 u 2 → + a 3 u 3 → + b b 1 u 1 → + b 2 u 2 → + b 3 u 3 → + c c 1 u 1 → + c 2 u 2 → + c 3 u 3 → = 0

Agora nossa ideia é chegar em algo parecido com (****)

u 1 → a a 1 + b b 1 + c c 1 + u 2 → a a 2 + b b 2 + c c 2 + u 3 → a a 3 + b b 3 + c c 3 = 0

Agora veja que temos algo igual em (****), pois cara parênteses acima é igual a zero, pois a = b = c = 0 , logo, temos algo do tipo:

d u 1 → + e u 2 → + f u 3 → = 0   c o m   d = e = f = 0

Logo a segunda afirmação tá certa

Passo 3

Bora para a última.

A última afirmação é falsa, basta tomarmos um exemplo. Primeiro bora pegar os valores de u’s sendo L.I.

u 1 → = 1,0 , 0

u 2 → = ( 0,1 , 0 )

u 3 → = ( 0,0 , 1 )

Agora, podemos formar, por exemplo, os seguintes valores de v:

v 1 → = 1 u 1 → + 0 u 2 → + 0 u 3 →

v 2 → = 2 u 1 → + 0 u 2 → + 0 u 3 →

v 3 → = 3 u 1 → + 0 u 2 → + 0 u 3 →

Veja que v 1 → = 2 v 2 → = 3 v 2 → , como são colineares eles não são L.I

Resposta

Letra D

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .