USP, 2016, P1, 4
Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por:
Se são tais que é o elemento de mais próximo de , então é igual a:
Passo 1
Falaaa, blzz?? Bora para mais um probleminha envolvendo produto interno. Essa questão é clássica envolvendo produto interno, ela faz com que a gente tenha que tomar algumas atitudes para tratar com o problema.
Primeiro temos que entender o que é dito na parte é o elemento de mais próximo de . Essa ideia de um vetor ser o mais próximo de um espaço, te lembra algo?? É a ideia de projeção, essa frase nos diz que:
Agora, veja que para atacar esse problema, ou seja, projetar um vetor sobre um espaço, precisamos determinar uma base para ele, vamos tomar sendo base de . Além disso, vamos lembrar o seguinte conceito:
Vamos tomar um espaço qualquer e um vetor qualquer.
, ou seja:
E pela definição de projeção, temos que:
Passo 2
Agora, vamos usar esses dois conceitos no probleminha:
No nosso caso, vamos tomar , onde e , pelas coisinhas que foram ditas:
Agora, no enunciado ele diz sobre produto interno e acima tá falando de ortogonalidade, sabe como unir essas ideias?? Veja só:
Se ou seja , por isso:
Pelas propriedades de produto interno:
Mas como , temos que em função da base citada, podemos escrever , reescrevendo usando isso:
Usando as propriedades novamente, temos que:
Agora, veja que podemos fazer o mesmo processo para bora lá:
Pelas propriedades de p.i:
E agora usando novamente que
E com isso
Passo 3
Agora unindo os 2, temos que:
Bora calcular esses carinhas:
Resolvendo a integral:
Ou seja
Agora olhando para outro termo:
Pelo mesmo processo
E ainda temos que:
Então:
Agora bora olhar para:
Dando que
E por fim, finalmente, temos que:
E por isso
Colocando esses valores no sisteminha lá de cima:
Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo da primeira, temos que:
Ou seja:
E colocando isso na primeira equação, temos que
Ou seja, temos que
Resposta
Letra C