USP, 2016, P1, 3
Considere a função definida por:
Assinale a alternativa correta:
não é um produto interno em , pois existem e tais que
não é um produto interno em , pois existem não nulo tal que
é um produto interno em
não é um produto interno em , pois existem tais que
não é um produto interno em , pois existem tais que
Passo 1
Falaaaa, blz?? Bora para mais um probleminha dessa prova, agora envolvendo produto interno. Nessa questão vamos analisar cada alternativa. Começando pela letra (a):
não é um produto interno em , pois existem e tais que
Para checar essa alternativa bora desenvolver e ver o que aparece.
Porém, por propriedade de derivada, podemos jogar a constante para fora, ou seja:
Colocando em evidencia:
Mas veja que isso é , ou seja, a alternativa está errada, pois ela nos diz que é diferente de
Passo 2
Agora bora para a letra B desse probleminha.
não é um produto interno em , pois existem não nulo tal que
Essa afirmação vale a gente pensar. Nesse caso, para termos precisamos que as primeiras derivadas em 1,2 e 3 seja igual a zero. Agora vale a gente pensar, existe algum polinômio tal que tenha derivadas nulas, mas ele sendo diferente de zero.
Veja que se tomarmos , sendo k uma constante qualquer, nós temos que:
Ou seja:
E por isso
Mas como foi dito, que é diferente do polinômio nulo, por isso a afirmação está correta. Uma vez que para ser produto interno, teríamos que , como isso não ocorre não é produto interno
E assim terminamos mais um probleminha, nessa questãozinha precisava checarmos cada alternativa, mas graças a boa vontade do professor foi até rápido kkkkk, bora para próxima
Resposta
Letra B