Seja um espaço vetorial munido de um produto interno e considere as seguintes afirmações:

para quaisquer , vale que se, e somente se, e são linearmente dependentes;

para quaisquer , vale que se, e somente se, ou existe tal que

para quaisquer e qualquer subespaço de , vale que se e , então

Assinale a alternativa correta:

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras.

E agora bora para a próxima afirmaçãozinha.

Bom, nessa aqui a gente pode pensar no seguinte, temos que

Dessa equação vemos que se ou ainda, que a equação é verdadeira.

Mas se , temos que e por isso, , com , pois são paralelos. O que está de acordo com a afirmação, mas temos um problema quando analisamos o outro caso, bora lá:

Se , temos que , mas com , ou seja, eles são paralelos com sentidos opostos. E nesse caso temos que ocorre , mas , mas com , mostrando que a afirmação é falsa.

E agora bora para última afirmaçãozinha, mesmo já sabendo a resposta, pois só sobrou a possibilidade de todas erradas, mas vamos lá:

Essa afirmação é falsa, pois para um vetor estar no complemento ortogonal de S, ele deve ser ortogonal a todos vetores de S, porém caras de podem ser ortogonais entre si, bora ver isso:

Vamos tomar ; e

Veja que podemos tomar e , nesse caso temos que:

Ou seja, a afirmação é falsa.

Essa questão é típica de ler a alternativa e tentar entender o que está rolando, para termos uma motivação se vale pensar num contraexemplo, caso seja uma afirmação falsa ou como provar caso seja verdadeira, bora para a próxima?