USP, 2016, P1, 5
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e considere as seguintes afirmações:
para quaisquer , vale que:
para quaisquer , vale que é ortogonal a se, e somente se, ;
Se são subespaços de V tais que , então .
Assinale a alternativa correta:
Apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;
todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
Passo 1
Falaaa, blz??? Bora para mais um probleminha dessa prova. Vamos começar pela primeira afirmação.
Veja que o problema nos diz sobre produto interno e a afirmação fala sobre módulo ao quadrado, como podemos unir os dois conceitos??
Para isso, vamos lembrar que
Ou seja, aplicando isso no problema:
Além disso, vamos lembrar que produto interno tem uma propriedade que usaremos:
Organizando tudo:
Aplicando a propriedade e :
Aplicando novamente:
Agora usando e juntando todo mundo:
Ou seja, a afirmação tá certa.
Passo 2
Agora bora para próxima afirmação:
Bom, vamos fazer a ida dessa afirmação, supor e ver se vale .
Se
Já foi calculado na afirmação anterior, temos que
Mas veja que usando o fato de , temos que
Além disso, vale o mesmo para , uma vez que foi calculado que:
E pelo mesmo argumento:
E por isso, temos que , mas como módulo é maior ou igual a zero, temos que:
Ou seja, a ida é verdadeira, bora checar a volta:
Supondo que , queremos ver se .
Se isso ocorre se, e somente se, , pois eles são não negativos.
E por isso, temos que:
Ou seja:
E isso só ocorre se , ou seja, . Por isso a afirmação é verdadeira.
Passo 3
E agora para finalizar, bora para a última.
Esse caso é falso, basta tomarmos:
Nesse caso, temos que e e , ou seja, não ocorre , por isso a afirmação é falsa.
E assim terminamos mais um probleminha dessa prova, agora usando as propriedades de produto interno e o conceito de espaço ortogonal.
Resposta
Letra C