Sejam um inteiro, um espaço vetorial de dimensão munido de um produto interno e com não nulos e dois a dois distintos. Considere as seguintes afirmações:

se o conjunto é ortogonal, então é uma base de

se é uma base de V, então o conjunto é ortogonal;

o conjunto é ortogonal se, e somente se, a matriz

Tem determinante positivo

Assinale a alternativa correta:

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

Agora vamos para segunda afirmação.

Essa afirmação é falsa, ela ta dizendo, basicamente, que se temos uma base, então é ortogonal, porém conseguimos achar bases de espaço que não são ortogonais, por exemplo:

Veja que é uma base do espaço, uma vez que possui dois vetores linearmente independentes. Além disso, os vetores não são ortogonais, uma vez que:

Para que eles fossem ortogonais precisaríamos que o produto interno seja zero, porém não é.

Agora nessa última afirmação, perceba que é um se, e somente se. Ou seja, tem que respeitar a ida e a volta:

Deve respeitar a ida, ou seja: Se B é ortogonal, o determinante da matriz é positivo

Deve respeitar a volta, ou seja: Se o determinante é positivo, B é ortogonal

O jeito mais fácil de checarmos esse problema é testar essa volta, ou seja, vamos tomar uma base não ortogonal, que tenha o determinante maior que zero. Para isso, vamos usar o exemplo anterior

Tomaremos:

Calculando os termos dessa matriz:

Dai:

Porém, o determinante dessa matriz é 1, que é positivo e a base não é ortogonal, por isso a afirmação é falsa

E aqui chegamos no finalzinho dessa prova, bora para o último problema?