Sejam um espaço vetorial de dimensão 2 e uma transformação linear não nula tal que

Para todo . Considere as seguintes afirmações:

Assinale a alternativa correta:

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

Achamos informações sobre a dimensão do núcleo e da imagem, consegue lembrar um conceito que une isso?

Estamos falando do teorema núcleo imagem, bora lembrar:

O teorema nos diz que se temos , conseguimos a seguinte relação:

Usando isso no problema, temos que:

Porém , ou seja:

Agora, vamos lembrar que e . Agora pense, temos dois números naturais, maiores ou iguais a 1 que somados dão 2, a única chance disso ocorrer é:

Aqui já sabemos que a primeira afirmação tá certa, basta checarmos a última.

Para checarmos se , podemos tomar a seguinte atitude. Checar a igualdade de conjuntos é análogo a checar se eles estão contidos um no outro, ou seja, basta checarmos que:

Se as duas coisas acima ocorrerem, podemos concluir que

Porém nesse problema temos uma peculiaridade, como , basta provarmos uma das duas inclusões. Entende o motivo disso? Bora ver melhor:

Se temos um espaço contido no outro e os dois tem mesma dimensão, como isso pode ocorrer? Eles sendo iguais, apenas.

Um jeito de ver isso é pensando que se tivermos uma reta, contida em outra reta, como isso é possível? Elas sendo a mesma. Então precisamos provar apenas uma das duas inclusões, bora lá:

Vamos ver se :

Para isso, vamos tomar , se isso ocorre, existe tal que

Pela hipótese do enunciado, temos que , ou seja, substituindo:

Por isso, temos que , daí temos que e pelos argumentos anteriores, temos que a última afirmação tá correta