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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, 2016, P1, 11

Considere o espaço vetorial P 2 ( R ) munido do produto interno definido por:

p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 ,     p , q ∈ P 2 ( R )

Se

S = 2 + t - t 2 , - 3 + t 2

E a , b ∈ R são tais que 1 + a t + b t 2 ∈ S ⊥ , então a + b é igual a:

Passo 1

Falaaaa, belezinha?? Bora para mais uma questãozinha dessa prova.

Bom, essa questão nos fala sobre um 1 + a t + b t 2 ∈ S ⊥ , além de comentar sobre produto interno. Agora bora refletir, o problema cita produto interno e um espaço ortogonal. Como podemos unir isso? A ideia é usar o seguinte conceito:

p , q = 0   s e   p ∈ S   e   q ∈ S ⊥

Pela definição de ortogonalidade entre S   e   S ⊥

Passo 2

Agora, vamos tomar 1 + a t + b t 2 = q ∈ S ⊥ , nosso objetivo é achar p ∈ S para fazermos p , q = 0 .

Veja que S = 2 + t - t 2 , - 3 + t 2 , ou seja, podemos tomar:

p 1 t = 2 + t - t 2  

p 2 t = - 3 + t 2  

Ambos são de S , pelo simples fato deles serem os geradores de S

Passo 3

Bora então finalizar o problema, vamos fazer:

p 1 , q = 0

Ou seja

2 + t - t 2 , 1 + a t + b t 2 = 0

Usando o produto interno dado na questão:

2 + t - t 2 , 1 + a t + b t 2 = 0 + 2 1 + 2 1 + a + b

E por isso:

2 + 2 1 + a + b = 0

E daqui, temos que 2 a + 2 b = - 4

Fazendo o mesmo processo para o outro p :

p 2 , q = 0

Ou seja

- 3 + t 2 , 1 + a t + b t 2 = 0

Usando o produto:

- 3 + t 2 , 1 + a t + b t 2 = - 2 1 - a + b + - 3 1 + ( - 2 ) ( 1 + a + b )

E dai:

- 2 1 - a + b + - 3 1 + - 2 1 + a + b = 0

- 7 - 4 b = 0

E por isso b =   - 7 4

Colocando isso em 2 a + 2 b = - 4 , achamos que:

a =   - 1 4

E dai, temos que a + b =   - 2 . Finalizando mais um probleminha, vamos para mais um??

Resposta

Letra D

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →
Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido que - 2,4 , 2, mas tem comprimento 6 .
Velocidades têm módulo, direção e sentido, sendo portanto vetores. O módulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar. Suponha que esteja ventando na direção N 45 ° W a uma velocidade de 50 km/h.
Suponha que a e b sejam vetores não nulos, não paralelos e que c seja um vetor pertencente ao plano determinado por a e b . Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser escrito como c = s a
Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j