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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2016, P1, 7

Seja T : P 3 R   → M 2 ( R ) a transformação linear definida por:

T a + b t + c t 2 + d t 3 = a + d b - c c + d a - b ,     a , b , c , d ∈ R

Assinale a alternativa correta:

a ) dim ⁡ K e r T = 2 ;

b ) T é injetora;

c ) dim ⁡ I m T < dim ⁡ K e r T ;

d )   T é sobrejetora;

e ) dim ⁡ I m T = 3 .

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora para outra questão dessa bela prova. Esse problema fala a respeito da dimensão do núcleo, imagem e injetividade/sobrejetividade (que está ligada as dimensões). Uma das formas para atacar esse problema é calculando alguma das dimensões e ver o que acontece.

Acredito que a dimensão mais fácil de ser achada é do núcleo, pois as continhas resultam num sistema de equações homogêneas (iguais a zero)

Passo 2

Para achar dim ⁡ K e r ( T ) , vamos ver como se escreve um p ( t ) ∈ K e r ( T ) e quem gera ele.

Vamos tomar p t = a + b t + c t 2 + d t 3 ∈ K e r ( T ) , por definição de núcleo, temos que:

T p t = 0

Fazendo isso:

a + d b - c c + d a - b = 0 0 0 0

Colocando isso num sistema:

a + d = 0 b - c = 0 c + d = 0 a - b = 0

Da segunda e quarta equação, temos que:

b = c

a = b

Ou seja, temos que a = b = c

Além disso, da primeira, temos que:

a = - d

Ficando com a solução:

a = b = c = - d

Passo 3

Bora agora organizar isso:

Podemos reescrever p ( t ) como p t =   - d - d t - d t 2 - d t 3 = d ( - 1 - t - t 2 - t 3 )

E por isso, temos que K e r T = - 1 - t - t 2 - t 3

E daqui, tiramos que dim ⁡ K e r T = 1 , o que infelizmente não nos da nenhuma solução direta, mas agora temos algo que relaciona dim ⁡ I m ( T ) com dim ⁡ K e r ( T ) , consegue lembrar?

Estamos falando do teorema núcleo imagem, bora lembrar como ele é?

O teorema nos diz que se temos T : U → V , conseguimos a seguinte relação:

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m ( T )

Aplicando isso na transformação T do problema:

dim ⁡ P 3 R = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m ( T )

Ou seja:

dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ P 3 R - dim ⁡ K e r T

E daqui, temos que dim ⁡ I m T = 4 - 1

Ou seja:

dim ⁡ I m T = 3

Chegando numa resposta, letra E. Questão interessante, faz com que a gente ache um espaço, sua dimensão e trabalhe em cima disso, bora agora para próxima??

Resposta

Letra E

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