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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2016, P1, 14

Sejam V   e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V → W uma transformação linear. Considere as seguintes afirmações:

I se T é injetora, então dim ⁡ V ≤ dim ⁡ W ;

( I I ) se dim ⁡ V ≤ dim ⁡ W , então T é injetora;

( I I I ) se T é sobrejetora, então dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W .

Assinale a alternativa correta:

a )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b ) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

c )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

d )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

e ) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaaaa, beleza?? Bora para mais uma questãozinha dessa prova. Começando pela primeira.

s e   T   é   i n j e t o r a ,   e n t ã o     d i m ⁡ V ≤ d i m ⁡ W ;

Para começar, vale pensar o que une as ideias de dimensão e injetividade, consegue lembrar?

Primeiro vamos usar que se T   é   i n j e t o r a , temos que dim ⁡ K e r T = 0 , além disso, podemos usar o teorema núcleo imagem, vamos lembrar o que esse teorema nos diz?

O teorema nos diz que se temos T : U → V , conseguimos a seguinte relação:

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m ( T )

Aplicando isso na questãozinha:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Usando a informação da injetividade:

dim ⁡ V = dim ⁡ I m ( T )

Mas como I m T ⊂ W , temos que dim ⁡ I m T ≤ dim ⁡ W ,   ou seja, colocando na equação acima:

dim ⁡ V ≤ dim ⁡ W

Passo 2

Agora vamos para próxima afirmação:

s e     d i m ⁡ V ≤ d i m ⁡ W   ,   e n t ã o   T   é   i n j e t o r a

Para mostrar que é falso, podemos tomar a transformação nula, que respeite d i m ⁡ V ≤ d i m ⁡ W , ou seja:

T :     R 2 → R 3

v   → 0

Ou analogamente, T v = 0 .

Veja que respeita d i m ⁡ V ≤ d i m ⁡ W , porém T não é injetiva, uma vez que todo v tem mesma imagem.

Passo 3

Para essa última afirmação, podemos tomar novamente o teorema núcleo imagem.

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Porém, se ela é sobrejetora, temos que dim ⁡ I m   T = dim ⁡ W , ou seja:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ W

E como a dimensão é um número maior ou igual a zero, temos que:

dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W

E assim chegamos ao fim de mais um problema, uma ótima questão para treinar o teorema núcleo imagem e o que ocorre quando uma transformação é injetora ou sobrejetora. Bora para próxima

Resposta

Letra D

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