USP, 2016, P1, 1
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e considere as seguintes afirmações:
Se é uma base de V e se é tal que , para , então
Se S é um subespaço de V e se são vetores dois a dois distintos tais que é uma base de S, então
Para qualquer
Se , , e , então:
Assinale a alternativa correta:
Apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras
Apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras
Apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras
Apenas a afirmação é necessariamente verdadeira
Todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
Passo 1
Faaaalaa, bllzz?? Bora começar mais uma provinha de álgebra linear II, dessa vez começamos com um problema envolvendo bases de um espaço, munido de produto interno, e algumas projeçõezinhas.
Bom, bora começar pela primeira afirmação.
Se é uma base de V e se é tal que , para , então
A motivação nesse problema é, ao meu ver, usar que , pois caso , sabemos que , além disso o problema diz sobre produto escalar, então faz sentido buscar isso.
Primeiro vamos notar que se é uma base de V, podemos escrever v como combinação linear desses carinhas, ou seja, existem tais que:
Usando isso, vamos notar que de tiramos:
Agora, usando propriedadeszinhas de produto interno, mais especificamente:
Usando isso, chegamos que:
Ou ainda
Porém, pelo enunciado , para . Ou seja:
Por isso
Afirmação verdadeira.
Passo 2
Passo 3
Agora vamos para a próxima afirmaçãozinha:
Se S é um subespaço de V e se são vetores dois a dois distintos tais que é uma base de S, então
Para qualquer
Essa aqui é uma questão clássica que aparece dessa matéria, ela tenta enganar a gente. Nela, vamos usar a afirmação verdadeira que é:
Se é uma base ortogonal de , então:
Essa afirmação é verdadeira, porém no enunciado ele só diz que “ é uma base de S”, não diz sobre sua ortogonalidade.
Para mostrar que é falso, vamos tomar:
, onde é uma base ortogonal, pela nossa afirmação:
Podemos fazer essa conta, tomando por exemplo e usando que , porém nesse caso, como S está sobre a base canônica, podemos só notar que a projeção de um vetor sobre o espaço gerado pela base canônica é o próprio . Como foi dito, fazendo a conta daria a mesma coisa, porém não há necessidade.
Agora vamos usar o que está no enunciado sendo verdadeiro e ver o que ocorre:
Ou seja, aplicando na formulinha de projeção:
Ou seja, achamos que
O primeiro resultado nos deu que e o outro deu isso acima, ou seja, achamos dois valores distintos para a projeção de sobre S, porém isso é um absurdo, uma vez que não importa qual a base estamos olhando, a projeção sobre S é a mesma, ou seja, a afirmação tá errada.
Passo 4
Bora acabar essa questãozinha olhando a última afirmação:
Se , , e , então:
Para fazer essa questão, vamos usar a fórmula de projeção do lado esquerdo da igualdade e ver o que aparece. Usaremos que
Agora, usaremos as seguintes propriedades:
Voltando:
Ou seja:
Daqui, achamos que
Por isso a afirmação é falsa.
Resposta
Letra D