Sejam V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ , S um subespaço de V e v , w   ∈ V tais que v - w ∈ S e w ∈ S ⊥ . Pode-se afirmar que:

a )   v , w =   v ;

b )   v = 0 ;

c )   v , w = 0 ;

d )   v , w = w 2 ;

e )   v ∈ S ⊥

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora lá para outra questãozinha dessa prova. Esse problema fala sobre produto interno e ortogonalidade, não temos muito para onde correr, né? Consegue lembrar como podemos unir esses dois? Vamos lembrar e usar que:

Se a , b ≠ 0 :

a , b = 0 ↔ a ⊥ b

Vamos usar isso e ver o que ocorre...

Passo 2

No enunciado, tiramos que v - w ∈ S e w ∈ S ⊥ , ou seja, pela definição de espaço ortogonal, temos que:

v - w ⊥ w

E por isso:

v - w , w = 0

Além disso, vamos lembrar que produto interno tem uma propriedade que usaremos:

i )   v , w + u =   v , w + v , u

i i )   v , a u = a v , u

i i i )   u , v = v , u

i v )   u , u = u 2

Agora bora aplicar as propriedades i ,   i i i   e   i i :

v - w , w = v , w - w , w

Aplicando i v :

v , w - w 2 = 0

E por isso, temos que v , w = w 2

Nos dando um gabarito, bora para próxima ???

Resposta

Letra D

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