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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2016, P1, 8

Seja T :     M 2 ( R ) → R 3 a transformação linear definida por:

T a b c d = a - b + c - d , a - b , c - d ,     a , b , c , d ∈ R

Assinale a alternativa correta:

a )   T é sobrejetora;

b )   K e r T = 1 1 0 0 , 0 0 - 1 - 1 ;

c ) dim ⁡ K e r T = 3 ;  

d ) dim ⁡ K e r T = 1 ;  

e )   I m T = 1,1 , 0 , ( 1,0 , 1 )  

Passo 1

Falaaaa, beleza?? Bora para mais um problema envolvendo dimensão de núcleo e imagem.

Nesse problema podemos tratar com K e r ( T ) , pegando uma matriz 2   x   2 , igualando sua imagem a zero e fazendo continhas, parecido com o problema anterior, porém como já fizemos dessa forma (questão 7), bora fazer um pouco diferente, olhando direto para dim ⁡ I m ( T ) .

Passo 2

Para analisarmos dim ⁡ I m ( T ) , vamos ver quantos vetores geram esse espaço, para isso vamos fazer o seguinte:

Tomando uma matriz A de M 2 ( R ) do tipo A = a b c d , temos que:

T A =   a - b + c - d , a - b , c - d

Ou seja:

T A = a 1,1 , 0 + b - 1 , - 1,0 + c 1,0 , 1 + d ( - 1,0 , - 1 )

E por isso, temos que I m ( T ) = 1,1 , 0 , - 1 , - 1,0 , 1 , 0 , 1 , - 1 , 0 , - 1

Mas vamos lembrar que a dimensão de um espaço é dada pela quantidade de vetores L.I que geram o espaço, ou analogamente, a quantidade de vetores de uma base desse espaço.

Ou seja, o que queremos é achar a quantidade de vetores linearmente independentes que geral a imagem da transformação.

Passo 3

Usando que I m ( T ) = 1,1 , 0 , - 1 , - 1,0 , 1,0 , 1 , - 1,0 , - 1 , bora achar a quantidade de vetores L.I nessa galera.

Primeiro veja que:

1,1 , 0 =   - - 1 , - 1,0 , ou seja, eles não são L.I

1,0 , 1 =   - 1,0 , 1 e novamente não são L.I

E como esses vetores são linearmente dependentes, geram o mesmo espaço, e por isso:

I m ( T ) = 1,1 , 0 , 1,0 , 1

Como esses vetores são L.I, temos que dim ⁡ I m T = 2 e é gerado por 1,1 , 0 , 1,0 , 1

Chegando em mais uma resposta, bora para próxima questão?

Resposta

Letra E

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