USP, 2016, P1, 2
Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e seja o subespaço de definido por:
Se e são tais que
E se , então é igual a:
Passo 1
Falaaa, blz??? Para esse problema temos que fazer uma análise sobre o que se pede.
Vamos analisar a seguinte equação:
Além disso, vamos notar que , agora pense um pouco, une a equação acima com o fato da ortogonalidade falada, isso te lembra algo? Esses fatos, unidos, nos dizem que , por definição mesmo. Agora, para escrevermos a projeção de um vetor sobre um espaço, precisamos achar uma base para esse espaço, parecido com a questão 1 dessa prova, bora fazer isso?
Passo 2
O que foi dito é, se temos base de um espaço V, podemos escrever:
Ou seja, basta acharmos essa base do espaço .
Vamos tomar do tipo , como ele está em , podemos afirmar que
Pois esses dois estão em S.
Ou seja, temos que:
Unindo essas duas equações e fazendo as continhas:
Veja que podemos multiplicar por 2 a de baixo e somar com a de cima, ficando:
Então, fica:
Por isso, temos que , colocando isso na primeira equação, achamos que
Passo 3
Ou seja, nosso vetor fica como:
E por isso, como , podemos concluir que:
Veja que , ou seja, além de ser uma base do espaço ela é uma base ortogonal
Agora ocorre algo legal, pois podemos usar o seguinte fato:
Se é uma base ortogonal de , então:
Ou seja, aplicando isso no problema:
Com base ortogonal de , pela afirmação:
Agora basta usar a fórmula de projeção , aplicando a fórmula na equação:
E por isso, temos que
Ou seja
Mas como , temos que
Resposta
Letra E