P1 de Álgebra Linear da UFRJ - 2017.1

Seja uma matriz . Então o núcleo de e a imagem de são subconjuntos, respectivamente, de:

(a) e

(b) e

(c) e

(d) e

Assinale uma base para a imagem da matriz

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere o sistema abaixo e assinale o valor de quando

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:

Assinale o valor de de forma que o sistema tenha solução:

(a) 3

(b) 1

(c) 0

(d) 2

Seja A uma matriz tal que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial de suas colunas. Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de é um conjunto infinito

II - Uma das colunas de é gerada pelas demais

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) Ambas são falsas

(d) I é falsa e II é verdadeira

Seja uma matriz qualquer e um vetor qualquer de . Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de é o conjunto-solução do sistema linear

II - A imagem de é o conjunto-solução do sistema linear

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) Ambas são falsas

(d) Ambas são verdadeiras

.

Assinale o vetor que adicionado ao conjunto forma uma base para o

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja uma matriz qualquer:

I - Pode-se afirmar que existe apenas um vetor tal que é igual à soma de todas as colunas de

II - Não existe nenhum vetor tal que é igual à diferença entre a primeira e a última colunas de A

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

Considere o sistema abaixo e assinale o conjunto que NÃO REPRESENTA a sua solução geral:

(a)

(b)

(c)

(d)

Sejam , e tal que e Calcule a segunda coluna da matriz

Se é linearmente independente e é linearmente dependente, então:

I - pode ser um conjunto linearmente independente.

II - pode ser um conjunto linearmente independente.

(a) Ambas são verdadeiras

(b) Ambas são falsas

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) I é verdadeira e II é falsa

Considere os sistemas : e . Verifique as afirmações abaixo:

I - Se o sistema tem solução, então o sistema tem solução

II - Se o sistema tem solução única, então o sistema tem solução única

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são verdadeiras

Abaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!) Qual dos conjuntos abaixo pode ter dimensão menor do que 3?

(a)

(b)

(c)

(d)

Determine a dimensão do conjunto abaixo:

(a) 3

(b) 4

(c) 1

(d) 2

Sejam e , o conjunto gerado pore . Seja um elemento de . Considere as afirmativas:

I - para todo

II - Se então necessariamente

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são verdadeiras

Seja uma base de e , um subconjunto de . Verifique as afirmativas abaixo:

I - e podem ser todos, simultaneamente, conjuntos

II - e podem ser todos, simultaneamente, conjuntos

III - Se o conjunto é LI, então ele também é um conjunto gerador de

(a) Todas são falsas

(b) II é falsa e I e III são verdadeiras

(c) I é verdadeira e II e III são falsas

(d) I é falsa e II e III são verdadeiras

(e) III é verdadeira e I e II são falsas

(f) II é verdadeira e I e III são falsas

(g) III é falsa e I e II são verdadeira