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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.1, Questão 13

Considere o sistema abaixo e assinale o conjunto que NÃO REPRESENTA a sua solução geral:

x + y + z + w = 4 x - y + z - w = 0  

(a) ( 1 ,   2 ,   1 ,   0 )   +   ( - 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ) , ( - 2 ,   - 2 ,   2 ,   2 )

(b) ( 2 ,   2 ,   0 ,   0 )   +   ( - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) , ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 )

(c) ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )   +   ( - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) , ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 )

(d) ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )   +   ( - 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ) , ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 )

Passo 1

Bora resolver esse sistema para saber a cara da solução:

x + y + z + w = 4   ( I ) x - y + z - w = 0   ( I I )  

Fazendo I + ( I I ) fico com:

2 x + 2 z = 4 ⟹ x + z = 2 ⟹ x = 2 - z

Substituindo em ( I ) :

2 - z + y + z + w = 4 ⟹ y + w = 2 ⟹ y = 2 - w

Passo 2

Então:

x , y , z , w = 2 - z , 2 - w , z , w = 2,2 , 0,0 + z - 1,0 , 1,0 + w ( 0 , - 1,0 , 1 )

Opaa! Essa é exatamente a letra (b), então já eliminamos essa opção de resposta.

Como na letra c o espaço gerado é igual, basta que o vetor ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) seja solução de ambas equações, vamos testar:

x + y + z + w = 4 ⟹ 1 + 1 + 1 + 1 = 4

x - y + z - w = 0 ⟹ 1 - 1 + 1 - 1 = 0

Pronto, letra c eliminada!

Vamos ver se o vetor ( 1,2 , 1,0 ) da letra (a) é solução:

x + y + z + w = 4 ⟹ 1 + 2 + 1 + 0 = 4

x - y + z - w = 0 ⟹ 1 - 2 + 1 - 0 = 0

Sim!! Beleza, sobraram os espaços gerados pra gente analisar, os vetores deles devem ser combinações lineares daqueles que achamos quando calculamos a solução do sistema:   - 1,0 , 1,0   e 0 , - 1,0 , 1 .   Além de terem que formar um conjunto linearmente independente, 2 vetores na base para formarem o meu espaço de dimensão 2.

Na letra (d) conseguimos facilmente ver que:

  - 1,0 , 1,0 + 0 , - 1,0 , 1 = - 1 , - 1,1 , 1

- - 1,0 , 1,0 + 0 , - 1,0 , 1 = ( 1 , - 1 , - 1,1 )

Sobrou a letra (a), temos que achar um erro nela de algum jeito.

Gente é bem mais fácil que parece na verdade, tá bem claro que o segundo vetor é múltiplo do primeiro, logo esse conjunto não gera o espaço que eu quero.

Resposta

a

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22