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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.1, Questão 07

Seja   v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 →   uma base de G e {   w 1 → ,   w 2 → ,   w 3 → }   ⊂   G , um subconjunto   L I de G . Verifique as afirmativas abaixo:

I -   w 1 → ,   v 1 → ,   v 2 → , {   w 1 → ,   v 1 → ,   v 3 → } e   w 1 → ,   v 2 → ,   v 3 →   podem ser todos, simultaneamente, conjuntos L D

II -   w 1 → ,   v 1 → ,   v 2 → , {   w 1 → ,   v 1 → ,   v 3 → } e   w 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → podem ser todos, simultaneamente, conjuntos L I

III - Se o conjunto   w 1 → ,   v 1 → ,   v 2 →   é LI, então ele também é um conjunto gerador de G

(a) Todas são falsas

(b) II é falsa e I e III são verdadeiras

(c) I é verdadeira e II e III são falsas

(d) I é falsa e II e III são verdadeiras

(e) III é verdadeira e I e II são falsas

(f) II é verdadeira e I e III são falsas

(g) III é falsa e I e II são verdadeira

Passo 1

Vamos analisar essa parada aí afirmativa por afirmativa:

I -   w 1 → ,   v 1 → ,   v 2 → , {   w 1 → ,   v 1 → ,   v 3 → } e   w 1 → ,   v 2 → ,   v 3 →   podem ser todos, simultaneamente, conjuntos L D

Sabemos que {   v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } é uma base de G , isso diz pra gente que o número máximo de vetores de G   que formam um conjunto L I é 3.

Beleza, vamos relacionar isso com o meu outro conjunto L I ,   w 1 → ,   w 2 → ,   w 3 → .   Como não posso ter 4 ou mais vetores formando um conjunto L I em G ,   se eu juntasse cada um desses vetores com os vetores da base eu teria conjuntos L D :

  v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → , w 1 → ,     v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → , w 2 → ,     v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → , w 3 → são conjuntos L D

Assim, os vetores do meu outro conjunto L I ,   w 1 → ,   w 2 → ,   w 3 →   devem ser combinação linear dos vetores da base,   {   v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } .

Sacaram??

Agora voltando para a afirmativa:

Para o primeiro conjunto ser L D , precisamos que w 1 → seja C L de v 1 →   e v 2 → ou de apenas um dos dois:

w 1 → = α 1 v 1 → + α 2 v 2 → ou w 1 → = α 1 v 1 → ou w 1 → = α 2 v 2 →

Para o segundo ser L D , precisamos que w 1 → seja C L de v 1 →   e v 3 → ou de apenas um dos dois:

w 1 → = α 1 v 1 → + α 3 v 3 → ou w 1 → = α 1 v 1 → ou w 1 → = α 3 v 3 →

E, por fim, para o terceiro ser L D , precisamos que w 1 → seja C L de v 2 →   e v 3 → ou de apenas um dos dois:

w 1 → = α 2 v 2 → + α 3 v 3 → ou w 1 → = α 2 v 2 → ou w 1 → = α 3 v 3 →

Conseguimos ver que não tem interseção entre as três opções! Ah mas e se eu pegar uma hipótese que satisfaz duas opções e outra que satisfaz a terceira, por exemplo:

w 1 → = α 1 v 1 → e w 1 → = α 2 v 2 → + α 3 v 3 →

Repara numa coisa, se isso aqui em cima é verdade, então isso aqui também vai ser:

α 1 v 1 → = α 2 v 2 → + α 3 v 3 →

O que contradiz com o fato de {   v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } serem um conjunto L I .

Assiiim, essa afirmativa é falsa, isso é impossível.

Passo 2

II -   w 1 → ,   v 1 → ,   v 2 → , {   w 1 → ,   v 1 → ,   v 3 → } e   w 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → podem ser todos, simultaneamente, conjuntos L I

Essa afirmativa é verdadeira, pois sabemos que w → deve ser combinação linear do conjunto   v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → , como por exemplo:

2 v 1 → +   3 v 2 → + 4   v 3 → =   w 1 →

Dessa forma, todos os conjuntos citados na afirmativa seriam simultaneamente L I !!

A afirmativa seria falsa somente se conseguíssemos escrever esse vetor apenas como combinação apenas de 2 dos 3 vetores, aí algum(ns) dos conjuntos teria(m) que ser necessariamente L D .

Passo 3

III - Se o conjunto   w 1 → ,   v 1 → ,   v 2 →   é L I , então ele também é um conjunto gerador de G

Essa também é verdadeira, como sabemos que o espaço G   tem dimensão 3, quaisquer 3 vetores pertencentes a ele que formem um conjunto L I o geram.

Resposta

d

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .