UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.1, Questão 09
Considere os sistemas : e . Verifique as afirmações abaixo:
I - Se o sistema tem solução, então o sistema tem solução
II - Se o sistema tem solução única, então o sistema tem solução única
(a) Ambas são falsas
(b) I é falsa e II é verdadeira
(c) I é verdadeira e II é falsa
(d) Ambas são verdadeiras
Passo 1
Afirmativa : Se o sistema tem solução, então o sistema tem solução
Sendo que : e .
Primeiramente, o sistema homogêneo sempre tem solução, pois a solução trivial sempre é solução.
O sistema passa a ter a possibilidade de não ter solução quando um vetor é colocado no lugar do vetor nulo. Isso acontece quando esse vetor não for combinação linear das colunas da matriz, ou seja, quando ele não pertencer a imagem.
Como a questão não deu mais nenhuma restrição para a gente, é possível sim que o sistema não tenha solução, assim, a afirmativa é falsa.
Passo 2
Afirmativa Se o sistema tem solução única, então o sistema tem solução única
Essa afirmativa é verdadeira! Isso porque a solução de está contida na solução de então, se só tem uma solução também vai ter que ter.
Resposta
b