Listas de Exercícios - Profª Mônica Merkle de Cálculo 2 da UFRJ - Exercícios de equações diferenciais separáveis

Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

é solução de ;

Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

é solução de ;

Resolva as seguintes equações diferenciais:

Resolva as seguintes equações diferenciais:

Resolva as seguintes equações diferenciais:

Resolva as seguintes equações diferenciais:

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

d)

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

e)

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

f)

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

g)

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

h)

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

i)

4. Coloca-se uma barra de metal à temperatura de em um quarto com temperatura constante de . Se, após 20 min, a temperatura da barra é de , determine:

a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de .

4. Coloca-se uma barra de metal à temperatura de em um quarto com temperatura constante de . Se, após 20 min, a temperatura da barra é de , determine:

b) A temperatura da barra após 10 min.

5. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de Se após 10 min a temperatura do corpo é de e após 20 min é de , determine a temperatura inicial.

6. Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min, cresceu 3%.

a) Determine a constante de proporcionalidade.

6. Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min, cresceu 3%.

b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?

7. Determine uma família de curva , , , que satisfazem a seguinte propriedade: no intervalo , a ordenada é proporcional à área determinada pela curva, os eixos coordenados e a reta vertical que contém a abcissa .

8. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se observa que após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial. Determine a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).

Sabe-se que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que um bloco deste material, que originalmente tinha 100gr, depois de 20 anos ficou apenas com 80gr. Encontre uma expressão para a massa do bloco em função do tempo. Calcule a meia-vida do material.

Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população é de pessoas/mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas. Quando morrerá toda a população da aldeia?

Certa pessoa infectada por uma doença contagiosa introduziu-se numa população saudável de 999 pessoas. O mal se espalhou por contato, conseguindo-se deduzir a lei de propagação y’(t) = βyx onde t = tempo é medido em meses, y(t) é o número de pessoas infectadas no instante t e x(t) é o número de pessoas não infectadas no instante t. Considerando que uma pessoa infectada permanecerá doente durante todo o tempo e que 100 pessoas serão infectadas 12 meses após o início do processo de contágio, pergunta-se: Quanto tempo será necessário para que a metade da população esteja infectada?