Resolva as seguintes equações diferenciais:

(b) (d^2y) / (d^2x) = 1 / (1 + x^2)

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Precisamos resolver a seguinte equação diferencial

d 2 y d x 2 = 1 1 + x 2

Bora lá!

Passo 2

Primeiro temos que lembrar que

d 2 y = d 2 y d x 2 d 2 x

então

d 2 y = 1 1 + x 2 d 2 x

Integrando duas vezes dos dois lados da equação

∫ ∫ d 2 y = ∫ ∫ 1 1 + x 2 d 2 x

Vamos resolver essas integrais!

Passo 3

Temos

  ∫ ∫ d 2 y = ∫ ∫ 1 1 + x 2 d 2 x

Vamos resolver a primeira integral usando integral tabelada de 1 1 + x 2

∫ d y = ∫ ( a r c t a n ( x ) + C 1 ) d x

Resolvendo a segunda integral, usando integração por partes para resolver a integral de a r c t a n ( x )

y = ∫ ( a r c t a n ( x ) + C 1 ) d x = ∫ a r c t a n ( x ) d x + C 1 x + C 2

Vamos lá!

Passo 4

Resolvendo a integral de a r c t a n ( x )

y = ∫ a r c t a n ( x ) d x + C 1 x + C 2

aplicando a integração por partes, sendo u = a r c t a n ( x ) = >   d u = 1 1 + x 2 dx e d v = d x = > v = x , assim

∫ a r c t a n ( x ) d x = u v - ∫ v d u = x   a r c t a n ( x ) - ∫ x 1 1 + x 2 d x

essa última integral é resolvida pela substituição simples w = 1 + x 2 = >   d w = 2 x   d x , então

∫ a r c t a n ( x ) d x = x   a r c t a n ( x ) + 1 2 ∫ 1 w d w = x   a r c t a n ( x ) - 1 2 l n ( 1 + x 2 )

Vamos substituir esse resultado em y .

Passo 5

Finalmente, temos que a solução será

y = ∫ a r c t a n ( x ) d x + C 1 x + C 2 = x   a r c t a n ( x ) - 1 2 l n ( 1 + x 2 ) + C 1 x + C 2

Chegamos, então, à solução!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = x   a r c t a n ( x ) - 1 2 l n ( 1 + x 2 ) + C 1 x + C 2

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