3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

i) x 3 sen ⁡ y   y ' = 2 lim x → ∞ ⁡ y x = π 2

Passo 1

Falaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a equação diferencial separável.

Pra isso vamos lembrar que pra resolver uma equação diferencial separável temos que “separar” tudo que tem uma variável de um lado e tudo que a outra variável do outro lado. Depois disso integramos os dois lados.

Passo 2

Temos:

x 3 sen ⁡ y   y ' = 2

Reorganizando os termos:

x 3 sen ⁡ y d y d x = 2

sen ⁡ y   d y = 2 x 3 d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ sen ⁡ y   d y = ∫ 2 x 3 d x

- cos ⁡ y + K 1 = 2 - 2 x 2 + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: C = K 1 - K 2

cos ⁡ y = 1 x 2 + C

Passo 4

Como temos a condição lim x → ∞ ⁡ y x = π 2 , vamos achar a constante:

cos ⁡ π 2 = 1 ∞ 2 + C

0 = 0 + C

C = 0

Voltando pra equação:

cos ⁡ y = 1 x 2

y = arccos ⁡ 1 x 2

Resposta

y = arccos ⁡ 1 x 2

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